结论前置：合同到期不续签，单位已支付赔偿金的情况下，若您对赔偿金额、支付方式等存在争议，仍然可以依法申请劳动仲裁以维护自身合法权益。
法律背景与依据：
劳动争议仲裁的受案范围：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，因解除和终止劳动合同发生的争议属于劳动争议仲裁的受案范围。这意味着，当劳动合同到期不续签，且双方就赔偿问题存在争议时，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
劳动合同终止与经济补偿：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满即为劳动合同终止的情形之一。
- 若用人单位提出不与劳动者续签劳动合同，根据该法第四十六条，用人单位应向劳动者支付经济补偿金。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
申请仲裁的时效与材料：
- 时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。例如，劳动合同到期后单位明确表示不续签且拒绝支付补偿，或支付的补偿金额不符合法律规定，从此时起开始计算一年的时效期间。
- 所需材料：包括仲裁申请书（详细列明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由）、证据材料（如劳动合同书、工资支付记录、工作证、考勤记录等）、身份证明（申请人需提供身份证原件及复印件，若委托代理人，还需提交授权委托书及代理人的身份证明等相关材料）。
可能的情况与建议：
若对赔偿金额有争议：
- 您可能认为单位支付的赔偿金额低于法定标准，或者单位在计算赔偿金额时存在错误。在这种情况下，您可以准备相关证据材料，如工资单、工作年限证明等，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位按照法定标准支付赔偿金。
若对支付方式有争议：
- 您可能认为单位未按照约定的方式支付赔偿金，或者单位在支付赔偿金时附加了不合理的条件。在这种情况下，您同样可以申请仲裁，要求单位按照约定的方式支付赔偿金，或者撤销不合理的条件。
若单位未支付赔偿金：
- 如果单位在劳动合同到期后未与您续签，且未支付任何赔偿金，您更有权申请仲裁，要求单位支付应得的赔偿金。
行动建议：
- 在申请仲裁前，建议您先与单位进行协商，尝试通过友好沟通解决争议。
- 如果协商无果，或者您认为单位的做法明显违法，那么请及时准备相关证据材料，向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。
- 在仲裁过程中，保持冷静和理性，遵循仲裁程序，尊重仲裁结果。如果对仲裁结果不服，您还可以在规定的时间内向人民法院提起诉讼。
总之，合同到期不续签且单位已支付赔偿金的情况下，若您对赔偿问题存在争议，仍然可以依法申请劳动仲裁。希望以上信息能对您有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。