针对您孩子在学校被同学推倒磕掉牙齿，而校方和肇事方不想承担责任且不想打官司的情况，您可以按照以下步骤来处理，以维护孩子的合法权益：

1. 收集和保留证据：

   • 医疗证据：首先，务必收集并妥善保存孩子因牙齿受伤就医的所有材料，包括病历、诊断证明、检查报告以及医疗费用发票等。这些证据将直接证明孩子的伤情以及因此产生的费用支出。
   • 现场证据：积极寻找目击证人，如同学或老师，并请他们提供书面证言。同时，与学校沟通，申请调取事发时的监控视频，以还原事故真相，明确责任归属。

2. 与对方及学校沟通协商：

   • 与对方家长沟通：保持冷静和理智，向对方家长详细说明事情经过、孩子的伤情以及您的赔偿要求。出示相关证据，争取通过友好协商的方式解决问题。
   • 寻求学校协助：向学校老师或管理部门反映情况，请求学校出面组织双方家长进行调解。学校作为教育机构，有管理和保护学生的责任，其介入可能有助于促成双方达成赔偿协议。

3. 发送书面索赔函：

   • 若沟通协商无果，您可以撰写一份索赔函，详细陈述事故发生的时间、地点、经过，孩子的受伤情况以及已产生的医疗费用等。在索赔函中明确列出赔偿项目和金额，并设定一个合理的回复期限。
   • 索赔函应通过可靠方式（如EMS）送达对方家长，并保留好快递底单作为送达证据。这有助于确保您的索赔要求得到正式回应。

4. 申请教育部门调解：

   • 若学校调解无效，您可以向当地教育部门提出调解申请。提交相关证据材料、索赔函以及沟通记录等，以支持您的诉求。
   • 配合教育部门的调解工作，如实陈述事实和诉求。教育部门作为官方机构，其介入可能有助于推动问题得到更公正的解决。

5. 考虑法律途径（若其他途径均无效）：

   • 若上述步骤均未能解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护孩子的权益。虽然您提到不想打官司，但在某些情况下，法律诉讼可能是最有效的解决方式。
   • 在准备法律诉讼前，您可以咨询我，详细了解案件情况，获取专业的法律建议和诉讼方案。我会根据您的具体情况，为您制定合适的诉讼策略。
   • 在律师的协助下，准备起诉状、证据材料等，并向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。参与庭审过程，提供证据，进行辩论，以争取法院作出有利于您的判决。

在处理此类问题时，有几点建议需要您注意：

• 保持冷静和理智：在处理孩子受伤的问题时，务必保持冷静和理智，避免情绪化行为影响问题的解决。
• 重视证据的收集和保存：证据是后续主张权利的关键。务必确保所有相关证据都得到妥善保存，并在需要时能够及时提供。
• 及时咨询专业律师：若遇到困难或不确定的情况，及时向我咨询以获取帮助和指导。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和支持。

最后，虽然您提到不想打官司，但请理解，在某些情况下，法律诉讼可能是最有效的解决方式。如果其他途径均无法解决问题，且孩子的权益受到严重侵害时，请考虑通过法律途径来维护孩子的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。