结论：合同到期后劳动者继续在原单位工作但未签订新劳动合同，法律上视为双方以原条件继续履行劳动合同，但用人单位需承担未及时签订书面劳动合同的法律责任，包括支付二倍工资等。以下从劳动者和用人单位两个角度详细分析：
一、对劳动者的影响及权益保障
视为继续履行原合同：
- 根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，劳动合同期满后，劳动者仍在原用人单位工作，原用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件（包括待遇、工资、工作内容与地点等）继续履行劳动合同。这意味着，尽管未签订新合同，但劳动者仍享有原合同约定的各项权利。
主张二倍工资差额：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于合同期满后继续工作但未签新合同的情况。劳动者有权从劳动合同期满的次月起，要求用人单位支付二倍工资差额，直至双方签订新书面劳动合同或视为已订立无固定期限劳动合同为止。
- 计算公式：二倍工资差额 = 月工资 × 未签订书面劳动合同的月数（最长不超过11个月，因为满一年未签合同的，视为已订立无固定期限劳动合同）。
随时解除权与赔偿：
- 在未签新合同的情况下，劳动者享有随时解除劳动关系的权利。若用人单位存在违法行为（如未支付劳动报酬、未缴纳社保等），劳动者可立即解除劳动合同并要求赔偿。赔偿标准通常按每工作满一年支付一个月工资计算。
维权途径：
- 劳动者应先与用人单位协商签订书面劳动合同；协商不成时，可向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付双倍工资及补签合同。在仲裁或诉讼中，劳动者需提供证明劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
二、对用人单位的风险与义务
法律责任与经济成本：
- 用人单位面临支付双倍工资的法律责任，这显著增加了用工成本。若被认定为应签无固定期限合同而未签，支付双倍工资的时间更长，成本更高。
管理风险与团队稳定性：
- 未签合同可能导致员工归属感减弱，影响团队稳定性和工作效率。在劳动纠纷中，用人单位因缺乏书面合同作为证据，往往处于不利地位。
用人单位义务：
- 用人单位应及时与劳动者协商续签事宜，并在一个月内签订新书面劳动合同。若提出终止劳动关系，需按《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条规定支付经济补偿。经济补偿的标准根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 同时，用人单位应建立内部合规体系，确保及时沟通续签事宜，避免法律纠纷。这包括制定明确的劳动合同管理制度、定期提醒劳动者续签合同、保留好相关证据等。
典型案例分析：以小李与某公司为例，劳动合同于2022年6月30日到期，小李继续在公司工作但公司未续签劳动合同。2023年3月小李离职并申请仲裁，要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资。仲裁委员会支持了小李的部分请求，裁决公司支付相应的双倍工资差额。此案例强调了劳动合同续签的重要性及未签合同的法律后果。
综上所述，合同到期后继续工作但未签订新的劳动合同涉及复杂的法律问题。劳动者与用人单位应充分了解各自权益与义务，依法处理相关事宜，以避免不必要的法律风险和纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。