在起诉探望权时，对方确实可以主张抚养费，因为探望权和抚养费是两个独立的法律问题，它们的处理并不相互排斥。以下是对这一问题的详细分析：
法律依据与性质分析
探望权：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十六条，离婚后，不直接抚养子女的父或者母，有探望子女的权利，另一方有协助的义务。
- 性质：探望权是基于父母与子女间的身份关系产生的法定权利，旨在保障非直接抚养方与子女的情感联系，促进子女健康成长。
抚养费：
- 法律依据：同样根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。
- 性质：抚养费是父母对子女应尽的经济责任，用于保障子女的生活、教育、医疗等需要。
两者的关系与处理
- 独立性：探望权与抚养费分属不同的法律范畴，前者关乎情感联系，后者关乎经济责任，二者不存在相互排斥的关系。
- 同时主张：在离婚协议的协商过程中或向法院提起离婚纠纷、子女抚养纠纷诉讼时，当事人可同时主张探望权和要求对方支付抚养费。这意味着，即使一方在起诉探望权，另一方也有权在此时提出抚养费的主张。
- 法律责任：无论是否支付抚养费，父母都享有探望孩子的权利；同样，无论是否行使探望权，父母都有义务支付孩子的抚养费。如一方拒绝履行其义务，另一方可通过法律途径维护自己和孩子的合法权益。
实际应用指导
在实际操作中，建议当事人在离婚协议中明确约定探望权的具体安排和抚养费的支付细节，以减少后续纠纷。若协议无法达成，应及时寻求法律援助，通过法律程序来确保自己的合法权益得到保护。同时，法院在处理此类案件时，也应充分考虑子女的最佳利益，确保探望权和抚养费的合理安排，以促进子女的健康成长。
总结来说，起诉探望权时，对方可以主张抚养费，因为这两者是独立的法律问题，不相互影响。如果你在处理这类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。