在私人养老院工作十一年后被辞退，赔偿问题需要分情况讨论，以下是具体分析：

1. 若用人单位违法解除劳动合同
   根据《劳动合同法》第87条，用人单位违法解除劳动合同的，需按经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
   

• 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。工作十一年，则经济补偿为11个月工资。
  
• 赔偿金计算：11个月工资×2=22个月工资作为赔偿金。
  
• 月工资定义：指劳动者在劳动合同解除前十二个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。若月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，按三倍计算，且赔偿年限最高不超过十二年（但您的情况不涉及此上限）。

1. 若用人单位合法解除劳动合同
   若用人单位因劳动者严重违反规章制度、不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任、客观情况重大变化导致合同无法履行等法定情形解除合同，需支付经济补偿（非赔偿金）：
   

• 经济补偿金额：11个月工资（按上述月工资标准计算）。
  
• 例外情形：若用人单位未提前30日书面通知解除，需额外支付1个月工资作为“代通知金”（但十一年工龄通常不涉及此情形，因经济补偿已覆盖）。

1. 若用人单位未依法缴纳社保或未签书面合同
   

• 未缴社保：您可要求用人单位补缴社保，或向劳动监察部门投诉。
  
• 未签书面合同：若自用工之日起满一年未签合同，视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位需支付11个月双倍工资差额（但需注意诉讼时效，通常为离职后1年内主张）。

行动建议：

1. 收集证据：劳动合同、工资条、考勤记录、辞退通知等证明劳动关系及工龄的材料。
   
2. 协商或投诉：与用人单位协商赔偿，或向当地劳动监察大队投诉。
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可在离职后1年内向劳动仲裁委申请仲裁，主张赔偿金或经济补偿。
   

温馨提示：若用人单位以“经营困难”“裁员”等理由解除合同，需符合《劳动合同法》第41条的程序要求（如提前30日说明、听取工会意见、向劳动部门报告等），否则可能构成违法解除。

如有进一步疑问或需具体计算赔偿金额，可直接向我咨询。