当案件终审后又有新的证据出现时，其处理方式确实需要根据案件的具体性质（民事、刑事、行政）以及所处的诉讼阶段来细致分析。以下是一个详细且清晰的解答：

一、民事诉讼中的处理方式

1. 若案件尚在上诉期内：

   • 新证据必须是在一审庭审结束后新发现的，或者是在一审举证期限届满前申请法院调查但未获准许，二审法院认为应当准许的证据。
   • 当事人应在上诉时一并提交新证据，并在上诉状中详细说明证据的来源、证明内容以及未能在一审提交的合理理由。二审法院将审查新证据，若其对案件事实有实质性影响，可能会撤销原判、发回重审或依法改判。

2. 若上诉期已届满：

   • 当事人可在知道或应当知道新证据存在之日起六个月内，向作出生效裁判的上一级人民法院申请再审。
   • 申请再审时，需提交再审申请书、新证据及相关法律依据，并详细说明新证据对原判决的影响。法院将审查新证据，若认为其足以推翻原判决，可能裁定再审；否则，将驳回再审申请。

3. 另行起诉：

   • 若新证据涉及的事实与原案件非同一法律关系，或者不满足再审条件但符合起诉条件，当事人可考虑另行起诉。

二、刑事诉讼中的处理方式

1. 一审判决后发现新证据：

   • 在上诉期间内，被告人或辩护人发现新证据，应及时向二审法院提交，并说明证据来源和证明内容。二审法院将审查新证据，若其对定罪量刑有重要影响，可能改判或发回重审。
   • 若一审判决已生效，当事人及其法定代理人、近亲属发现新证据，可向人民法院或人民检察院提出申诉。若新证据符合法定条件，可能启动审判监督程序重新审理。

2. 二审判决后发现新证据：

   • 同样可向人民法院或人民检察院提出申诉，符合条件的可能启动审判监督程序。

3. 检察机关依职权启动再审：

   • 人民检察院在履行法律监督职责中，若发现新证据足以影响原判决、裁定的准确性，可依职权向人民法院提出抗诉，启动再审程序。

三、行政诉讼中的处理方式

1. 上诉期内发现新证据：

   • 当事人应及时提交新证据，并在上诉状中阐述相关情况和理由。二审法院将审查新证据，若其对案件事实有实质性影响，可能改变一审判决结果。

2. 生效判决后发现新证据：

   • 行政诉讼生效判决作出后，当事人发现新证据且足以推翻原判决的，可向原审或上一级法院申请再审。法院将审查新证据，决定是否启动再审程序。

四、新证据的审查流程与注意事项

• 无论民事、刑事还是行政案件，法院或检察院对新证据的审查都围绕真实性、合法性和关联性进行。需确认证据是否真实存在、获取方式是否合法、与案件事实关联程度如何，以及是否足以推翻原判决、裁定。
• 提交新证据时，应附上详细说明材料，阐述证据的来源、内容及其对案件的影响。
• 当事人应确保新证据符合法定标准，并通过适当程序提交，以维护自身合法权益。

五、其他建议

• 鉴于案件终审后发现新证据是一个复杂且需谨慎处理的问题，建议当事人及时咨询专业律师，根据案件具体情况和法律规定采取相应法律行动。
• 若案件已生效且超过再审申请期，当事人还可考虑通过向检察机关申诉等其他途径寻求救济。

希望以上解答能为您提供清晰、详细且深入的指导。