结论：在“先推人被打双方都拘留”的情况下，双方可能都涉及了违反治安管理的行为，具体拘留的合法性和后续处理需根据双方行为的具体情节和后果来判断。以下是从不同角度的详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于殴打他人或者故意伤害他人身体的行为，以及对于结伙斗殴、追逐、拦截他人等寻衅滋事行为，公安机关有权根据情节轻重给予相应的治安管理处罚，包括警告、罚款、拘留等。在您描述的情况中，“先推人”可能构成了对他人身体的侵犯或寻衅滋事，而“被打”则是对方可能采取的防卫或反击行为（但需注意，防卫行为需在合理限度内，否则也可能构成违法）。若双方行为均违反了治安管理规定，公安机关有权对双方进行处罚，包括拘留。
二、双方行为的具体分析
先推人的一方：
- 如果推人行为被认定为故意伤害他人身体或寻衅滋事，且情节较轻，可能面临五日以下拘留或者五百元以下罚款的处罚。
- 如果情节较重，如造成他人轻微伤或更严重的后果，可能面临五日以上十日以下拘留，并可以并处五百元以下罚款。
被打的一方：
- 如果被打行为是在对方先推人的情况下，为了制止不法侵害而采取的合理防卫行为，且未超出必要限度，则不构成违法，不应受到处罚。
- 如果被打行为超出了必要限度，或者是在对方已经停止侵害后继续实施的报复行为，则可能构成违法，需要承担相应的法律责任，包括可能的拘留处罚。
三、后续处理建议
了解拘留原因：
- 双方应首先了解自己被拘留的具体原因，即公安机关认定自己违反了哪条治安管理规定，以及具体的情节和后果。
申请复议或诉讼：
- 如果认为公安机关的处罚决定有误，双方均有权在收到处罚决定书之日起六十日内向上一级公安机关申请行政复议，或者在六个月内直接向人民法院提起行政诉讼。
协商和解：
- 在了解各自行为性质和后果的基础上，双方也可以考虑通过协商和解的方式解决纠纷，以减少不必要的法律程序和成本。
寻求法律帮助：
- 如果双方在处理过程中遇到法律难题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
四、可能的法律后果
- 如果双方行为均被认定为违法，且情节较轻，可能面临警告、罚款或短期拘留的处罚。
- 如果情节严重，如造成他人重伤或死亡等严重后果，则可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
最后，我建议您在处理此类纠纷时保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。