结论：在约定一个月后还款，到期后要求延期还款的情况下，是否构成新的还款期限约定，需根据双方的具体行为和意思表示来判断。

分析说明：

1. 若双方达成延期还款的合意：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同双方当事人可以协商一致变更合同内容，包括还款期限的变更。若双方在原还款期限到期后，就延期还款达成了一致意见，并形成了新的约定，那么该新的约定即构成新的还款期限。
   • 具体情形：例如，原合同约定一个月后还款，到期后，债务人提出延期还款，债权人同意，并明确新的还款日期，此时即形成了新的还款期限约定。

2. 若双方未达成延期还款的合意：

   • 法律背景：若债务人单方面提出延期还款，而债权人未明确表示同意，或者双方虽进行协商但未达成一致意见，则原还款期限仍然有效，债务人仍需按原约定履行还款义务。
   • 具体情形：例如，原合同约定一个月后还款，到期后，债务人提出延期还款，但债权人未予回应或明确拒绝，此时债务人仍需在原约定的还款期限内履行还款义务，否则可能构成违约。

3. 关于延期还款约定的形式：

   • 法律要求：延期还款的约定可以是口头的，也可以是书面的。但为了避免纠纷，建议双方尽量采用书面形式进行确认，以便在发生争议时提供证据。
   • 实践建议：若双方达成延期还款的合意，最好签订书面的延期还款协议，明确新的还款期限、利息计算方式等关键条款，以确保双方权益得到保障。

后续行动建议：

• 若您作为债务人，希望延期还款，建议及时与债权人沟通，并尽量达成书面的延期还款协议，以明确双方的权利和义务。
• 若您作为债权人，面对债务人的延期还款请求，应谨慎考虑并明确回复，若同意延期，最好签订书面协议；若不同意，则应要求债务人按原约定履行还款义务。

可能法律后果：

• 若双方达成延期还款的合意并履行，则不会产生法律纠纷。
• 若债务人未按原约定或新的约定履行还款义务，则可能构成违约，需要承担违约责任，包括支付违约金、赔偿损失等。

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