刑事拘留期间遇到元旦等法定节假日，拘留期限的计算和执行不会因节假日而中断或延长，但相关程序性活动可能会受到一定影响，具体处理方式需结合实际情况判断。以下是详细分析：

1. 拘留期限的连续计算
   根据《刑事诉讼法》第85条、第91条等规定，刑事拘留的期限自执行之日起连续计算，不受节假日影响。例如：
   

• 若某嫌疑人于12月30日被刑事拘留，拘留期限为3日，则期限届满日为1月2日（含元旦假期），不会因元旦而延长至假期结束后；
  
• 若需延长拘留期限（如流窜作案、多次作案等情形），延长后的期限同样连续计算，节假日不构成中断理由。

1. 程序性活动的调整规则
   虽然拘留期限连续计算，但部分程序性活动可能因节假日调整：
   

• 提请批捕时间：公安机关需在拘留后3日内提请检察院批捕（特殊情况可延长1-4日；流窜、多次作案等可延长至30日）。若提请批捕的最后一日为节假日，通常顺延至节假日后首个工作日提交；
  
• 检察院审查批捕：检察院需在收到提请批捕书后7日内作出决定。若审查期限最后一日为节假日，同样顺延至节假日后首个工作日；
  
• 律师会见：看守所节假日通常不停止办公，但律师需提前预约，且部分看守所可能因警力安排调整会见时间（建议提前联系确认）。

1. 家属需注意的关键事项
   

• 期限计算：家属可自行计算拘留期限（如3日、7日、30日等），若公安机关未在期限内变更强制措施（如取保候审、逮捕），可依法提出异议；
  
• 权利保障：若嫌疑人被超期拘留，家属可委托律师向公安机关、检察院提出申诉，要求解除强制措施或变更措施；
  
• 证据固定：若认为拘留程序违法（如未出示拘留证、未通知家属等），律师可协助固定证据并启动法律救济程序。

总结建议：刑事拘留遇节假日时，期限连续计算是核心原则，但程序性活动可能顺延。家属应重点关注拘留期限是否超期，并及时委托律师介入，通过会见嫌疑人、与办案机关沟通等方式，确保程序合法性并维护嫌疑人权益。如有具体案件疑问，可直接向我咨询细节。