工厂辞退员工时，是否支付经济补偿或赔偿金，以及支付的具体数额，取决于辞退的具体原因和劳动合同的相关约定。以下是对不同情形的详细分析：

一、需支付经济补偿的情形

1. 协商解除

   • 情形：工厂与员工协商一致解除劳动合同。
   • 补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 示例：若员工在工厂工作3年8个月，协商解除劳动合同时应获得4个月工资的经济补偿（3年×1个月+8个月按1年算×0.5个月）。若月工资为5000元，则经济补偿为 \(4 \times 5000 = 20,000\) 元。

2. 无过失性辞退

   • 情形：包括劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使合同无法履行且未能就变更合同达成协议等。
   • 补偿标准：同样按上述工作年限计算方式支付经济补偿金，且需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后解除合同。
   • 示例：若员工因不胜任工作被辞退，且在工厂工作2年3个月，月工资为6000元，则经济补偿为 \(2.5 \times 6000 = 15,000\) 元（2年×1个月+3个月按0.5年算×1个月，因未提前30天通知，若选择支付代通知金则经济补偿为 \(2 \times 6000 = 12,000\) 元，另加一个月工资6000元，总计18000元，但此处仅计算经济补偿部分）。

3. 经济性裁员

   • 情形：因依照企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难、转产/重大技术革新或经营方式调整导致需要裁减人员等情形而裁员。
   • 补偿标准：按工作年限支付经济补偿金，并优先留用特定人员（如签订较长期限固定期限劳动合同者、无固定期限劳动合同者、家庭无其他就业人员且有需扶养老人或未成年人者）。
   • 程序要求：需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后将方案报劳动行政部门备案。

4. 月工资标准

   • 如果劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

二、需支付赔偿金的情形

• 情形：工厂违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同的，如无任何合法理由单方面辞退员工。
• 赔偿标准：应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
• 示例：若合法辞退应支付4个月工资经济补偿，月工资为5000元，则违法辞退需支付 \(4 \times 5000 \times 2 = 40,000\) 元赔偿金。

三、无需支付补偿或赔偿的情形

• 员工存在过错，如：
  • 在试用期间被证明不符合录用条件；
  • 严重违反工厂规章制度；
  • 严重失职，营私舞弊，给工厂造成重大损害；
  • 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或拒不改正；
  • 以欺诈、胁迫手段或乘人之危使对方违背真实意思订立或变更劳动合同；
  • 被依法追究刑事责任。

四、额外注意事项

• 如果工厂未提前三十日以书面形式通知劳动者本人而解除劳动合同，除需支付经济补偿外，还需额外支付一个月工资作为代通知金。

总结建议：工厂在辞退员工时，应仔细审查辞退原因和劳动合同的相关约定，以确定是否需要支付经济补偿或赔偿金，并确保支付标准和程序的合法性。同时，员工也应了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。