夫妻在同一机关工作被举报后的处理方式需结合举报内容、机关性质及具体证据综合判断，核心结论如下：

1. 若举报内容涉及违反《公务员法》或《事业单位人事管理条例》的“回避规定”

   • 法律依据：根据《公务员法》第74条，公务员之间有夫妻关系、直系血亲关系等，不得在同一机关双方直接隶属于同一领导人员，或有直接上下级领导关系等情形；事业单位参照类似规定。
     
   • 处理方式：机关需启动回避程序，调整其中一方岗位至符合回避要求的部门；若拒不调整，可能面临警告、记过等处分（《公务员法》第107条）。
     
   • 例外情形：若夫妻岗位无直接隶属或利益关联（如不同部门、无管理权限交叉），可能不构成违规。
     

2. 若举报内容涉及“利益输送”“以权谋私”等职务违法或犯罪

   • 调查程序：机关需将线索移交纪检监察机关（如纪委监委），由其依《监察法》展开调查，包括调取工作记录、财务凭证、谈话取证等。
     
   • 处理结果：
     
     • 若查实存在贪污、受贿、滥用职权等行为，依《刑法》追究刑事责任（如贪污罪、受贿罪）；
       
     • 若情节较轻，依《政务处分法》给予警告、记过、降级、撤职等政务处分。
       
   • 关键点：需有充分证据证明夫妻利用职务便利为对方或第三方谋取利益，仅因同单位工作不构成违法。
     

3. 若举报内容为“生活作风问题”等非职务类问题

   • 处理依据：机关可依内部规章制度（如《公务员考核规定》）进行调查，若涉及违反公序良俗（如婚外情），可能影响年度考核、评优或晋升。
     
   • 例外：若问题不涉及工作纪律或职务行为，机关通常无权直接处分，但可能建议通过民事途径（如离婚诉讼）解决。
     

建议：若您或他人面临此类举报，需第一时间收集证据（如岗位说明、工作记录、举报材料），明确举报内容是否涉及职务违法或回避违规。如有疑问，可直接向我咨询具体法律适用及应对策略。