结论：合同到期但招标未完成的情况下，是否可以与原单位签补充合同，这取决于原合同的性质、内容以及双方的具体约定，同时需考虑相关法律法规的规定。以下从不同角度进行分析：
一、原合同性质与内容的影响
原合同为固定期限合同且明确约定续签或补充条款：
- 如果原合同是固定期限的，并且明确约定了合同到期后双方可以续签或签订补充合同的条件和程序，那么在招标未完成的情况下，双方可以按照原合同的约定，协商签订补充合同，以延续或调整原合同的部分条款。
原合同未明确约定续签或补充条款：
- 如果原合同没有明确约定续签或签订补充合同的条件和程序，那么双方需要就合同到期后的权利义务进行重新协商。在招标未完成的情况下，双方可以基于诚实信用原则和公平原则，就继续履行原合同或签订新合同的相关事宜进行协商，并达成一致意见后签订补充合同。但需注意，这种补充合同应当明确双方的权利义务，避免产生新的纠纷。
二、相关法律法规的考虑
《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同是双方意思表示一致的协议，具有法律约束力。在合同到期后，双方可以协商续签或签订补充合同，但应当遵循自愿、公平、诚实信用的原则。同时，如果补充合同的内容涉及新的权利义务关系，应当确保不违反法律法规的强制性规定。
招标投标法的相关规定：
- 如果招标活动受到《中华人民共和国招标投标法》的调整，那么在招标未完成的情况下签订补充合同，需要确保不违反该法的相关规定。例如，如果补充合同的内容涉及对原招标文件的实质性变更，或者影响其他投标人的公平竞争权益，那么这种补充合同可能是无效的。因此，在签订补充合同前，双方应当仔细审查原招标文件和相关法律法规，确保补充合同的合法性和有效性。
三、实际操作建议
审查原合同条款：
- 在签订补充合同前，双方应当仔细审查原合同的条款，特别是关于合同期限、续签、补充合同以及违约责任等方面的约定。这有助于双方明确各自的权利义务，避免产生新的纠纷。
协商达成一致意见：
- 双方应当就补充合同的内容进行充分协商，并达成一致意见。在协商过程中，双方可以就合同期限、工作内容、报酬支付等关键条款进行明确约定，以确保补充合同的明确性和可执行性。
确保合法合规：
- 在签订补充合同前，双方应当确保补充合同的内容不违反相关法律法规的强制性规定。如果涉及招标活动的，还应当确保不违反招标投标法的相关规定。如有必要，可以咨询专业律师或相关机构进行法律审查。
总结与建议：合同到期但招标未完成的情况下，是否可以与原单位签补充合同，需要综合考虑原合同的性质、内容以及相关法律法规的规定。在签订补充合同前，双方应当仔细审查原合同条款、协商达成一致意见，并确保补充合同的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。