结论：在公开招标合同到期而新的公开招标还在走流程的情况下，一般不可以直接签订补充协议来延续原合同效力或确定新合同内容，但具体是否可行需结合实际情况判断，以下从不同角度详细分析。
一、从合同效力及招标投标法规定角度
- 原合同到期终止
- 根据《民法典》合同编相关规定，合同有明确期限的，期限届满合同即终止。公开招标合同若明确约定了合同期限，到期后合同权利义务关系自然终止，双方不再受原合同条款约束。
- 例如，某建设工程公开招标合同约定工期为2023年1月1日至2023年12月31日，那么到2023年12月31日合同就终止了，之后若没有新的合法约定，双方不能按照原合同继续履行。
- 招标投标法对合同变更的限制
- 《招标投标法》规定，招标人和中标人应当自中标通知书发出之日起三十日内，按照招标文件和中标人的投标文件订立书面合同。招标人和中标人不得再行订立背离合同实质性内容的其他协议。
- 在原公开招标合同到期后，若直接签订补充协议，可能存在被认定为背离招标投标法规定的风险。因为补充协议可能会改变原招标文件和中标文件所确定的实质性内容，如价格、质量标准、工期等。比如，原招标合同约定工程价款为固定总价1000万元，若补充协议将价款变更为1200万元，这就背离了原招标确定的实质性内容。
二、特殊情况分析
- 紧急情况且符合法定程序
- 如果存在紧急情况，如不立即采取措施会导致重大公共利益受损、人身安全受到威胁等，且经过法定程序批准，可能可以签订补充协议作为临时措施。但这种情况需要严格的审批程序和充分的证据支持。
- 例如，某市政基础设施建设工程，原合同到期时正值城市重大活动举办前夕，若工程停工会导致活动无法正常进行，影响城市形象和公共利益。在这种情况下，经过相关政府部门批准，招标人和中标人可以签订补充协议，暂时延续部分工程内容，但补充协议的内容和期限应严格限定在解决紧急问题的范围内。
- 双方协商一致且不损害第三方利益
- 若双方能够协商一致，并且签订补充协议不会损害其他潜在投标人的利益以及社会公共利益，从合同自由原则的角度，可能有一定的操作空间。但这种协商一致需要在合法合规的框架内进行，并且最好能够取得相关行业主管部门的认可。
- 比如，在一个小型的建设工程项目中，原合同到期后，新的招标流程因一些非实质性原因（如招标文件审核时间较长）延迟，招标人和中标人协商签订补充协议，将原合同中的一些非实质性条款（如办公用品的采购方式）进行微调，同时明确补充协议只是为了保障工程在招标过渡期间的正常管理，不涉及工程价款、工期等实质性内容，且不损害其他潜在投标人利益，这种情况下可能具有一定的合理性。
三、法律建议
- 谨慎签订补充协议
- 在没有充分法律依据和合法程序支持的情况下，不建议直接签订补充协议。否则，可能会面临合同无效、行政处罚等法律风险。
- 加快新招标流程
- 招标人应积极采取措施加快新的公开招标流程，确保新的合同能够及时签订，以保障工程的顺利进行。
- 咨询专业法律意见
- 如果确实存在特殊情况需要签订补充协议，建议先咨询专业律师，对补充协议的内容、签订程序等进行全面审查，确保其合法合规。
如果你还有其他关于合同纠纷、司法行政、建设工程等方面的法律问题，可以直接向我咨询。