在派遣公司合同到期时，申请继续续签合同主要是为了保障派遣员工的合法权益、确保用工单位的业务连续性，以及维护劳务派遣单位的合法合规运营。以下是对这一问题的详细解答：
一、保障派遣员工的合法权益
稳定的工作关系：续签合同意味着派遣员工能够继续在原岗位或相似岗位上工作，保持工作的稳定性和连续性，避免因合同到期而面临失业的风险。
明确的权益保障：新合同中会明确双方的权利和义务，包括派遣期限、工作岗位、劳动报酬、社会保险等重要内容。这有助于派遣员工在续签后继续享有应有的权益，如工资支付、社会保险缴纳等。
经济补偿的保障：如果因特殊原因（如派遣单位不续签）导致合同终止，派遣员工有权根据法律规定获得经济补偿。续签合同则避免了这种情况的发生，从而保障了派遣员工的经济利益。
二、确保用工单位的业务连续性
避免人才流失：对于用工单位而言，续签合同有助于保持派遣员工的稳定性，避免因合同到期而失去熟悉业务、技能熟练的员工，从而确保业务的连续性和高效性。
降低招聘成本：续签合同可以减少用工单位在招聘、培训新员工方面的投入，降低招聘成本，提高整体运营效率。
三、维护劳务派遣单位的合法合规运营
遵守法律法规：续签合同是劳务派遣单位遵守《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的重要体现。通过续签合同，劳务派遣单位能够确保自身的运营行为合法合规，避免因违法违规而面临的法律风险。
提升企业形象：合法合规的运营有助于提升劳务派遣单位的企业形象和信誉度，从而吸引更多的用工单位和派遣员工合作，促进企业的长期发展。
续签流程与注意事项
在申请续签合同时，派遣员工、用工单位和劳务派遣单位应遵循以下流程和注意事项：
评估与协商：用工单位评估业务需求，确定是否继续使用该派遣员工，并与劳务派遣单位就续签的具体条款进行详细沟通。
征求员工意见：劳务派遣单位向派遣员工说明续签情况，并征求员工的续签意愿。
签订新合同：员工同意续签后，双方根据协商一致的结果签订新的劳务派遣合同，明确双方的权利和义务。
备案与手续办理：新合同签订后，劳务派遣单位需按照规定办理备案手续，并为员工缴纳各项社会保险费用。
资料存档：将续签的合同及相关资料进行妥善存档，以备后续查询或审计需要。
综上所述，派遣公司合同到期申请继续续签合同是为了保障派遣员工的合法权益、确保用工单位的业务连续性，以及维护劳务派遣单位的合法合规运营。在续签过程中，各方应充分沟通、协商一致，并确保整个续签过程的合法性和规范性。