结论前置：您可以向公司所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张未签订劳动合同的双倍工资差额以及要求公司补缴社会保险。以下是详细说明：

1. 关于未签订劳动合同的仲裁请求

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司未与您签订书面劳动合同，您有权要求公司支付从第二个月起至一年内的双倍工资差额（即额外支付一倍的工资）。
   • 举证责任：在仲裁过程中，您需要提供能够证明您与公司存在事实劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等。这些证据将有助于证明您与公司之间的劳动关系以及您的工作时间。
   • 仲裁时效：需要注意的是，申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。因此，建议您尽快收集证据并申请仲裁，以免超过时效期间。

2. 关于未缴纳社会保险的仲裁与后续处理

   • 仲裁请求的局限性：虽然未缴纳社会保险本身可能构成违法行为，但直接通过劳动仲裁要求公司补缴社会保险可能面临一定困难。因为社会保险的缴纳涉及社会保险经办机构的行政职权，劳动仲裁委员会通常不会直接处理社会保险的补缴问题。
   • 后续处理途径：您可以先通过劳动仲裁确认您与公司之间的劳动关系以及公司未缴纳社会保险的事实。然后，您可以持仲裁裁决书或调解书向当地的社会保险经办机构投诉，要求公司为您补缴社会保险。社会保险经办机构将依法对公司进行查处，并责令公司为您补缴社会保险。
   • 额外补偿：如果因公司未缴纳社会保险给您造成了损失（如无法享受医疗保险待遇、失业保险待遇等），您还可以在仲裁或诉讼中要求公司承担相应的赔偿责任。

3. 申请仲裁的流程

   • 准备材料：在申请仲裁前，您需要准备好仲裁申请书、身份证复印件、证据材料等。仲裁申请书应当载明您的姓名、性别、年龄、职业、工作单位和住所，公司的名称、住所和法定代表人或者主要负责人的姓名、职务，以及您的仲裁请求和所根据的事实、理由。
   • 提交申请：您可以将准备好的材料提交给公司所在地的劳动争议仲裁委员会。仲裁委员会将在收到申请之日起五日内作出受理或者不予受理的决定。如果决定受理，仲裁委员会将依法组成仲裁庭，并通知您和公司参加仲裁庭审。
   • 参加庭审：在仲裁庭审过程中，您需要按照仲裁庭的要求陈述事实、提供证据、进行辩论等。仲裁庭将根据双方当事人的陈述和证据，依法作出裁决。

温馨提示：在整个过程中，如果您遇到任何困难或疑问，都可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更加详细和专业的法律建议。