当员工合同到期却赖着不走时，公司可以采取以下措施来合理、合法地处理这一问题：
明确合同到期事实与沟通
- 确认合同到期：首先，公司应仔细核查劳动合同的约定期限，确保合同确实已经到期。
- 沟通了解意图：主动与员工进行沟通，了解其不愿离职的具体原因。可能是员工对续签有期待，或者对离职后的安排存在顾虑。通过沟通，可以更好地理解员工的立场，为后续处理提供依据。
依法处理续签与离职事宜
- 续签决定：若公司决定不续签，应明确告知员工，并依据《劳动合同法》的相关规定，支付相应的经济补偿。经济补偿的标准通常按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准，六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 离职手续：无论员工是否同意离职，公司都有义务为其办理离职手续，包括开具离职证明、结算工资、办理社保减员等。若员工拒绝配合，公司可以书面形式通知其限期办理，并保留好相关证据。
采取法律措施应对员工拒不离岗
- 书面通知与警告：若员工在合同到期后仍拒不离岗，公司可以发出书面通知，明确要求其在一定期限内离职，并警告其若逾期不离岗将承担的法律责任。
- 申请劳动仲裁或提起诉讼：若员工仍拒不离岗，且公司无法通过协商解决问题，公司可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求裁决员工离职并承担相应责任。若对仲裁结果不满意，公司还可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。
注意事项与风险防范
- 保持冷静与理性：在处理此类问题时，公司应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语，以免激化矛盾。
- 证据保存：公司应妥善保存与员工沟通的记录、书面通知、离职手续办理情况等相关证据，以便在必要时作为证明自己主张的依据。
- 合法合规操作：公司在处理员工合同到期拒不离岗问题时，应严格遵守相关法律法规和规章制度，确保自己的操作合法合规，避免引发不必要的法律纠纷。
若公司在处理此类问题时遇到法律难题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。我会根据具体情况，为你提供专业、全面的法律服务。