针对租客搬走后提出要发票的情况，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

首先，根据《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务并收取款项时，收款方有义务向付款方开具发票。这是发票开具的基本原则，也是保障交易双方权益的重要法律依据。

接下来，针对您提到的具体情况，即租客以个人名义与房东签署了租房合同，但房费最终由单位支付并希望开具以单位名称为抬头的发票，我们可以这样理解：

1. 合同签约主体与付款主体的关系：虽然租房合同的签约主体是租客个人，但付款主体并不一定与签约主体相同。在实际操作中，存在员工代单位租房的情况，此时付款主体为单位。因此，合同签约主体与付款主体是可以分离的。

2. 发票开具的原则：根据发票管理办法，发票应开给实际付款方。如果房费确实是由单位支付，并且单位需要发票进行报销等财务处理，那么房东应当按照单位的要求，开具以单位名称为抬头的发票。

3. 实际操作建议：

   • 租客在搬走前，应与房东明确沟通发票开具的需求，包括发票的抬头、金额、开票时间等具体信息。
   • 如果房东对开具以单位名称为抬头的发票存在疑虑或不了解相关流程，租客可以提供相关的法律法规依据，如《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，以协助房东理解并配合开具发票。
   • 如果房东仍然拒绝开具符合要求的发票，租客可以考虑向当地税务机关咨询或投诉，以维护自己的合法权益。

综上所述，租客在搬走后提出要发票是合理的，并且房东应根据实际付款方（即单位）的要求开具发票。如果在实际操作中遇到任何问题或困难，租客可以积极与房东沟通，并寻求税务机关的帮助和支持。