结论：被仲裁要求赔钱后还被要求电话道歉，是否需要执行取决于仲裁裁决的具体内容。若裁决中明确包含道歉要求，则需履行；若未明确，则对方无权强制要求。以下从不同角度详细分析：
一、仲裁裁决的效力与内容
仲裁裁决的权威性：
- 仲裁裁决一旦作出，即具有法律约束力，双方当事人应当履行。这是仲裁制度的基本原则，也是保障仲裁公正性和效率性的重要基础。
裁决内容的审查：
- 您需要仔细审查仲裁裁决书，确认其中是否明确包含了要求您电话道歉的内容。如果裁决书中确实有此要求，那么您应当履行这一义务，否则可能面临对方申请强制执行的风险。
- 如果裁决书中仅要求您赔偿金钱，而未提及道歉，那么对方无权强制要求您道歉。在这种情况下，您可以拒绝对方的道歉要求，并告知其应尊重仲裁裁决的结果。
二、道歉要求的合法性与合理性
合法性分析：
- 道歉通常属于道德范畴，而非法律义务。在一般的劳动仲裁案件中，仲裁机构主要关注的是双方当事人的权益是否得到保障，以及是否存在违法行为。因此，除非裁决书中明确要求道歉，否则对方无权要求您道歉。
合理性考量：
- 即使裁决书中未要求道歉，对方可能出于情感上的需求或维护自身形象的目的而提出道歉要求。在这种情况下，您可以考虑与对方进行沟通，了解其具体诉求，并尝试通过协商达成和解。然而，这并不意味着您必须接受对方的道歉要求，因为您没有法律上的义务这样做。
三、应对策略与建议
遵守裁决义务：
- 如果裁决书中明确要求您道歉，那么您应当履行这一义务。您可以选择通过电话、书面或其他方式向对方道歉，以表达您的诚意和尊重。
拒绝无理要求：
- 如果裁决书中未要求道歉，而对方仍然坚持要求您道歉，您可以明确拒绝，并告知其应尊重仲裁裁决的结果。如果对方继续纠缠不休，您可以考虑寻求法律援助或向相关部门投诉。
沟通协商解决：
- 在处理此类纠纷时，沟通协商往往是一种有效的解决方式。您可以尝试与对方进行坦诚的沟通，了解其具体诉求和担忧，并寻求双方都能接受的解决方案。通过沟通协商，您可能能够避免不必要的法律纠纷和冲突。
最后，如果您在处理此类纠纷时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专业律师，我将竭诚为您提供专业的法律意见和帮助。