未成年初犯发布恐怖主义视频，是否会被判刑需根据具体情况判断，但存在被追究刑事责任的可能性。以下从不同角度为你详细分析：

一、法律定性角度

根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，宣扬恐怖主义、极端主义或者煽动实施恐怖活动、极端主义活动的行为，若构成犯罪，将依法追究刑事责任。发布恐怖主义视频，若视频内容涉及宣扬恐怖主义、极端主义，或者煽动实施恐怖活动、极端主义活动，那么该行为就可能触犯刑法，构成犯罪。对于未成年人犯罪，虽然刑法有从轻或者减轻处罚的规定，但并不意味着可以完全免除刑事责任。

二、年龄与刑事责任角度

1. 已满十六周岁：根据刑法规定，已满十六周岁的人犯罪，应当负刑事责任。因此，如果未成年人已满十六周岁，且发布恐怖主义视频的行为构成犯罪，那么其将被依法追究刑事责任。
2. 已满十四周岁不满十六周岁：对于已满十四周岁不满十六周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投放危险物质罪的，应当负刑事责任。虽然发布恐怖主义视频并不直接属于上述列举的罪名，但如果该行为被认定为与恐怖活动、极端主义活动相关，且情节严重，有可能被依法追究刑事责任，不过通常会从轻或者减轻处罚。
3. 不满十四周岁：对于不满十四周岁的人，无论其实施何种行为，都不负刑事责任。但是，这并不意味着其行为不受任何约束或惩罚。根据《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》等相关法律法规，对于不满十四周岁的未成年人实施的不良行为或者严重不良行为，可以依法进行矫治教育或者采取其他管理教育措施。

三、情节严重程度角度

即使未成年人发布恐怖主义视频的行为构成犯罪，是否会被判刑还取决于情节的严重程度。如果情节轻微，社会危害性不大，那么有可能不会被判刑，而是采取其他教育、矫治措施。但如果情节严重，社会危害性大，那么被判刑的可能性就较大。

四、建议与措施

1. 立即停止行为：如果未成年人已经发布了恐怖主义视频，应立即停止该行为，并删除相关视频，以减少社会危害性。
2. 主动接受教育矫治：未成年人及其监护人应主动接受相关部门的教育矫治措施，如参加法制教育、心理辅导等，以纠正错误观念和行为。
3. 寻求法律帮助：如果面临法律纠纷或处罚，建议及时寻求专业律师的帮助，以维护自身合法权益。

最后需要强调的是，发布恐怖主义视频是严重的违法行为，不仅可能触犯刑法，还可能对社会造成不良影响。因此，无论年龄大小，都应严格遵守法律法规，不发布、不传播任何违法信息。如果你或你身边的人有类似问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。