借款人死亡后，银行不一定会立即对共同借款人提起诉讼，是否立即诉讼取决于多种因素。以下从不同角度进行分析：

1. 银行的债权保障角度
   • 有充足担保或共同借款人还款能力较强：如果按揭贷款有足值的抵押物（如房产），且共同借款人经济状况良好、信用记录佳，具备按时足额还款的能力，银行通常会优先选择与共同借款人协商，要求其继续履行还款义务，而不会立即提起诉讼。因为诉讼程序需要耗费一定的时间、精力和成本，若能通过协商解决问题，对银行而言更为高效和经济。例如，共同借款人有稳定的收入来源，每月收入足以覆盖贷款月供，银行可能会给予一定的宽限期，让共同借款人继续还款。
   • 担保不足或共同借款人还款能力存疑：若抵押物价值不足以覆盖贷款本息，或者共同借款人经济状况恶化，存在失业、重大疾病等情况，还款能力受到严重影响，银行为了保障自身债权，可能会较快地考虑采取法律手段，向共同借款人提起诉讼，要求其偿还剩余贷款本金、利息及相关费用。
2. 合同约定角度
   • 合同明确约定借款人死亡后的处理方式：如果按揭贷款合同中明确约定了借款人死亡时，银行有权立即要求共同借款人偿还全部贷款，或者约定了在特定条件下银行可以立即采取法律行动，那么银行可能会依据合同约定，在借款人死亡后迅速启动诉讼程序。例如，合同中规定“若借款人死亡，共同借款人应在接到银行通知后的[X]日内偿还全部贷款，否则银行有权提起诉讼”，在这种情况下，若共同借款人未按时还款，银行就会立即诉讼。
   • 合同未明确约定：若合同中没有对借款人死亡后的情况作出明确约定，银行通常会先评估共同借款人的还款意愿和能力，再决定是否立即起诉。银行可能会先与共同借款人沟通，了解其还款计划和困难，尝试通过协商达成还款安排。
3. 法律程序和成本角度
   • 法律程序繁琐：诉讼是一个较为复杂的法律程序，需要经过立案、审理、判决、执行等多个环节，耗时较长。银行在决定是否立即起诉时，会考虑到诉讼程序可能带来的时间成本。如果银行认为通过其他方式（如协商、催收）能够在合理时间内收回贷款，可能会优先选择这些方式，而不是立即提起诉讼。
   • 诉讼成本较高：诉讼过程中，银行需要支付律师费、诉讼费、鉴定费等一系列费用。如果贷款金额较小，诉讼成本相对较高，银行可能会权衡成本与收益，选择更经济的方式解决债务问题。例如，对于一些小额贷款，银行可能会先尝试通过电话催收、上门催收等方式要求共同借款人还款，只有在这些方式无效的情况下，才会考虑提起诉讼。

建议：如果作为共同借款人遇到借款人死亡的情况，应主动与银行沟通，说明自身的还款能力和意愿，积极协商还款方案。若银行提出不合理的要求或采取不当的催收手段，共同借款人可以寻求法律帮助，维护自己的合法权益。若您有相关法律问题，欢迎直接向我咨询。