结论前置：私家车违停在市政道路的绿化带内，交警是有权进行处罚的。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第五十六条的规定，机动车应当在规定地点停放，禁止在人行道上停放机动车（除非施划了停车泊位），且临时停车不得妨碍其他车辆和行人通行。绿化带作为城市公共绿化区域，并不属于规定的停车地点，因此，在绿化带上停车违反了该法条的规定。
- 同时，《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第六十三条也明确规定了机动车在道路上临时停车的禁止性情形，虽然未直接提及绿化带，但绿化带作为公共区域，显然不属于可以临时停车的合法地点。
- 此外，《城市绿化条例》等相关法规也明确规定了对城市绿化的保护要求，任何单位和个人都不得损坏城市树木花草和绿化设施。将车辆停放在绿化带上，不仅违反了交通法规，也违反了城市绿化相关法规。
处罚方式：
- 对于违反规定在绿化带上停车的行为，交警部门有权依据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十三条的规定进行处罚。具体来说，交警可以指出违法行为，并给予口头警告，要求立即驶离。若驾驶人不在现场或拒绝驶离，妨碍他人通行，将面临二十元以上二百元以下的罚款，并且车辆可能被拖移至不妨碍交通的地点或公安机关交通管理部门指定的地点停放。
- 除了交警部门的处罚外，如果停车行为还造成了绿化带的损坏，车主还可能面临城市管理综合执法部门的处罚，包括恢复原状、赔偿损失以及相关行政处罚。不同地区对于破坏绿化带的罚款标准有所不同，通常在几百元到数千元不等。
特殊情况与注意事项：
- 如果车辆在行驶过程中突发故障或遇到紧急情况，确实需要在绿化带上临时停车，驾驶员应立即开启危险报警闪光灯，并在车后设置警示标志，以提醒其他车辆注意避让。同时，应尽快联系相关部门进行处理，如拨打救援电话或将车辆拖离绿化带。在这种情况下，虽然停车行为本身可能构成违法，但如果驾驶员能够证明是出于紧急情况且采取了必要的安全措施，执法部门在处理时可能会考虑从轻或减轻处罚。
- 车主在停车前应仔细观察周围的停车标志和标线，确保将车辆停放在合法的停车位内。如有疑问，可咨询当地的交通管理部门或相关机构以获取准确信息。
建议：作为车主，应严格遵守交通法规和城市绿化相关法规，共同维护良好的交通秩序和城市绿化环境。避免在绿化带上停车，以免面临不必要的法律处罚和经济损失。如果因特殊情况需要在绿化带上临时停车，务必采取必要的安全措施，并及时联系相关部门进行处理。有问题可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律解答。