针对您提出的“物业公司退出小区不办理手续应由哪个部门管理”的问题，这确实是一个涉及物业管理法规和业主权益的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

首先，当物业公司退出小区却不办理相关交接手续时，这明显违反了物业管理法规的相关规定，也损害了业主的合法权益。在这种情况下，业主或业主委员会应当首先向所在地的县（市、区）人民政府住房城乡建设主管部门（通常称为住建局或房管局）提出请求，要求该部门责令物业公司限期移交并退出。

根据相关物业管理条例（如《四川省物业管理条例》或《湖北省物业管理条例》等，具体条例名称可能因地区而异），住建部门在收到业主或业主委员会的请求后，应当自收到请求之日起一定工作日内（如三个工作日）责令物业公司限期移交、退出。如果物业公司逾期仍不移交或者退出，住建部门有权对其进行通报，并处以罚款，甚至可能限制其在一定期限内承接新的物业项目。

以实际案例为例，某小区原物业企业在被解聘后，未按规定履行交接手续，未结清相关费用。在住建部门多次督促下仍未完成交接，最终被处以罚款并责令限期整改。这一案例充分说明了住建部门在处理此类问题上的权威性和有效性。

因此，如果您的小区遇到了物业公司退出却不办理手续的情况，建议您或业主委员会及时向所在地的住建部门反映情况，并请求该部门依法进行处理。同时，您也可以保留相关证据，如物业合同、解聘通知、交接清单等，以便在需要时提供给住建部门作为处理依据。

总之，住建部门是负责处理物业公司退出小区不办理手续问题的主要部门。业主或业主委员会应当积极行使自己的权利，通过合法途径维护自己的合法权益。希望我的解答能够对您有所帮助。