合同到期后续签的起始日期，通常应从原合同到期日的次日开始计算，即若合同到期日为6月27日，续签合同一般应从6月28日开始。以下从不同角度对此问题进行详细分析：

1. 合同到期日的法律意义：

   • 合同到期日标志着原合同权利义务的终止。在到期日当天，合同双方应完成所有约定的义务，除非合同中有特别规定或双方另有约定。
   • 合同到期后，若双方未续签或未达成新的协议，则原合同关系不再存在，双方不再受原合同条款的约束。

2. 续签合同的起始日期确定：

   • 续签合同是双方就原合同到期后继续合作而达成的新的协议。因此，续签合同的起始日期通常应从原合同到期日的次日开始，以确保合同关系的连续性和稳定性。
   • 在实际操作中，双方可以在续签合同中明确约定起始日期，以避免任何可能的争议。若合同中未明确约定，则根据合同法的相关规定和交易习惯，一般应从原合同到期日的次日开始计算。

3. 特殊情况下的处理：

   • 如果双方在原合同到期前已经就续签事宜达成一致，并明确约定了续签合同的起始日期为原合同到期日当天或之前，那么这种约定是有效的，双方应遵守。
   • 另外，如果原合同中有特别规定或双方另有约定，如合同到期后自动续期或延长一段时间等，那么续签合同的起始日期应根据这些特别规定或约定来确定。

4. 法律建议：

   • 在签订续签合同时，双方应明确约定合同的起始日期、期限、权利义务等关键条款，以避免任何可能的争议。
   • 如果对续签合同的起始日期有疑问或争议，建议双方及时咨询专业律师，以获取准确的法律意见和解决方案。

综上所述，合同到期后续签的起始日期一般应从原合同到期日的次日开始计算。但具体起始日期还需根据双方约定和合同条款来确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。