国内公司派遣员工到境外工作出现纠纷，处理部门主要取决于纠纷的性质和具体情况，以下分情况讨论：

1. 劳动纠纷：

   • 核心部门：若纠纷主要涉及劳动合同的履行、工资支付、工伤赔偿等劳动权益问题，且派遣员工与国内公司签订了劳动合同，那么首先应当向国内的劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。在此情况下，尽管员工在境外工作，但劳动合同的签订地或用人单位所在地在国内，因此国内劳动争议仲裁机构具有管辖权。
   • 特殊情况：如果派遣员工与境外接收单位（如国外分公司、子公司或合作伙伴）签订了劳动合同，且纠纷主要发生在境外，那么可能需要根据境外当地的劳动法律法规，向当地的劳动争议解决机构寻求帮助。但在此之前，建议先咨询国内公司或专业律师，了解境外当地的法律环境和解决途径。

2. 涉外民事纠纷（非劳动纠纷）：

   • 核心部门：若纠纷涉及合同违约、侵权等民事权益问题，且不属于劳动纠纷范畴，那么可能需要根据纠纷的具体性质和合同条款，向有管辖权的法院提起诉讼。在国内，这通常意味着向被告住所地或合同履行地（如果合同中有明确约定）的法院提起诉讼。
   • 国际因素考虑：由于纠纷涉及境外工作，可能还需要考虑国际私法或国际条约的适用问题。例如，如果双方当事人在合同中选择了适用某一国家的法律，或者根据国际条约的规定，某一国家的法院具有管辖权，那么可能需要向该国法院提起诉讼。但在此之前，建议先咨询专业律师，了解国际私法和国际条约的具体规定。

3. 行政纠纷：

   • 核心部门：如果纠纷涉及国内公司或派遣员工与国内行政机关之间的行政行为（如签证办理、出入境管理、税务等），那么可能需要向作出该行政行为的行政机关的上级机关申请行政复议，或者向有管辖权的法院提起行政诉讼。

建议与注意事项：

• 提前了解境外法律：在派遣员工到境外工作前，国内公司应当充分了解境外当地的劳动法律法规、民事法律法规以及行政法规，确保派遣员工的权益得到充分保障。
• 签订详细合同：国内公司与派遣员工以及境外接收单位之间应当签订详细的合同，明确双方的权利义务、纠纷解决方式等条款，以便在纠纷发生时能够有据可依。
• 寻求专业帮助：在纠纷发生后，建议国内公司和派遣员工及时咨询专业律师，了解纠纷的性质、解决途径以及可能面临的法律后果，以便做出明智的决策。

总结来说，国内公司派遣员工到境外工作出现纠纷时，处理部门主要取决于纠纷的性质和具体情况。在处理纠纷时，建议国内公司和派遣员工充分了解相关法律法规和合同条款，及时寻求专业帮助，以便有效维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。