在刑事案件移送审理后，公安机关原则上不可以再自行进行调查取证，但在特定情况下，经法定程序批准，公安机关仍可补充侦查。以下是对这一问题的详细分析：

一、一般原则：移送审理后公安机关不再自行调查取证

在刑事案件的侦查阶段，公安机关负责收集证据、查明事实、抓捕犯罪嫌疑人等工作。一旦案件侦查终结，公安机关会将案件移送至人民检察院进行审查起诉，标志着案件进入下一个法律程序阶段。在案件移送审理后，原则上，公安机关不再自行进行调查取证工作。这是因为案件已经进入审查起诉阶段，调查取证的责任主要转移到了人民检察院，由其负责全面审查案件证据，决定是否提起公诉。

二、特定情况：补充侦查的例外

尽管有上述一般原则，但在特定情况下，公安机关仍可能进行补充侦查。这主要发生在以下两种情形：

1. 人民检察院退回补充侦查：

   • 在审查起诉过程中，如果人民检察院认为案件事实不清、证据不足，或者存在遗漏罪行、遗漏犯罪嫌疑人等情况，可以退回公安机关补充侦查。
   • 公安机关在接到人民检察院的补充侦查通知后，应当按照通知的要求进行补充侦查，并在法定期限内将补充侦查的结果再次移送人民检察院审查。

2. 自行发现需要补充侦查：

   • 在案件移送审理后，如果公安机关自行发现案件中存在需要进一步调查取证的情况，应当及时与人民检察院沟通，并经人民检察院同意后，进行补充侦查。
   • 这种情况下，公安机关的补充侦查行为是在人民检察院的监督和指导下进行的，以确保侦查活动的合法性和有效性。

三、法律后果与注意事项

1. 法律后果：

   • 如果公安机关在案件移送审理后未经法定程序擅自进行调查取证，其收集的证据可能因程序违法而被排除，无法作为定案的依据。
   • 此外，公安机关还可能因违反法定程序而面临法律责任，如被责令改正、受到纪律处分等。

2. 注意事项：

   • 公安机关在案件移送审理后，应严格遵守法定程序，不再自行进行调查取证工作。
   • 如需补充侦查，应及时与人民检察院沟通，并按照法定程序进行。
   • 在补充侦查过程中，应确保侦查活动的合法性和有效性，避免侵犯犯罪嫌疑人的合法权益。

如果您在刑事案件或司法行政方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业、全面的法律意见。