结论：分公司没有资质时，其独立签订工程合同的能力受到严格限制。具体而言，若工程合同涉及需要特定资质的业务领域（如建筑工程施工），则分公司必须具备相应资质才能独立签订；否则，合同可能因违反法律强制性规定而被认定无效。然而，在总公司明确授权并使用总公司资质的情况下，分公司签订的合同一般有效。
详细分析：
分公司法律地位与一般签约能力：
- 分公司作为总公司的分支机构，虽不具有独立法人资格，但依据《中华人民共和国民法典》第七十四条的规定，可以以自己的名义从事民事活动，产生的民事责任由法人（即总公司）承担。因此，在日常经营活动中，不涉及特定资质要求的业务领域（如办公用品采购、房屋租赁等），分公司通常可以独立签订合同。
特定资质要求下的工程合同签订限制：
- 对于工程合同，尤其是涉及建筑工程施工的合同，法律法规设定了严格的资质要求。根据《中华人民共和国建筑法》第二十六条的规定，承包建筑工程的单位必须持有依法取得的资质证书，并在其资质等级许可的业务范围内承揽工程。这一规定同样适用于建筑分公司，作为其作为建筑施工主体的一部分，若未取得相应资质，则不具备承揽建筑工程的资格。
- 若分公司未取得相关资质却签订了此类合同，根据《最高人民法院关于审理建设工程施工合同纠纷案件适用法律问题的解释（一）》第一条的规定，该合同将被认定为无效。这意味着合同自始没有法律约束力，双方均不能基于合同主张权利或履行义务。
总公司授权与资质使用：
- 在总公司明确授权并使用总公司资质的情况下，分公司签订的工程合同一般有效。因为在此情况下，分公司的签约行为被视为总公司的行为，而总公司具备相应的资质。然而，这种授权必须明确且具体，确保分公司是在总公司的授权范围内行事。
法律后果与责任承担：
- 若分公司无资质签订工程合同导致合同无效，根据《中华人民共和国民法典》第一百五十七条的规定，因合同取得的财产应予以返还；不能返还或无需返还的，应折价补偿。有过错的一方需赔偿对方因此遭受的损失；若双方均有过错，则各自承担相应的责任。对于建筑分公司而言，若因其无资质施工导致工程质量问题，不仅分公司需承担责任，其所属的总公司也可能需对工程质量问题负责，包括修复、赔偿损失等。
实际操作建议：
- 资质审查：在签订工程合同前，务必对分公司的资质进行严格审查，确保其具备相应的资质等级。若分公司缺乏相应资质，应考虑通过总公司或其他具有资质的关联方来签订合同。
- 授权明确：若分公司确需对外签订工程合同，应确保已获得总公司的明确授权，并在授权范围内以总公司的名义进行。同时，应保留好授权文件作为证据。
- 法律咨询：在涉及工程合同签订及执行过程中，如遇复杂法律问题或争议，建议及时向我咨询，以确保合法合规并降低法律风险。
综上所述，分公司没有资质时独立签订工程合同的能力受到严格限制。为确保合同的合法性和有效性，分公司应谨慎对待合同签订问题，并在必要时寻求专业法律支持。如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请直接向我咨询。