针对您提出的“公伤断了一个手指应该怎么赔偿”的问题，这实际上是一个涉及工伤赔偿的流程类问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、工伤认定
首先，您需要确认这是一起工伤事故。根据《工伤保险条例》，工伤是指在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的情况。若您是在工作过程中因工作原因导致手指断裂，那么这应被认定为工伤。您需要尽快向所在单位报告，并由单位在事故发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若单位未按时提出申请，您或您的近亲属、工会组织也可以在事故伤害发生之日起1年内，直接提出工伤认定申请。
二、伤情鉴定
在工伤认定后，您需要前往专业鉴定机构进行伤残及伤情鉴定。这一步骤对于确定您的伤残等级和后续赔偿金额至关重要。鉴定机构会根据您的伤情，出具详细的鉴定报告，明确您的伤残等级（如十级伤残、九级伤残等）和伤害程度。
三、赔偿项目及标准
基于工伤认定和伤情鉴定结果，您可以享受以下赔偿项目：
医疗费：包括治疗手指断裂所需的全部医疗费用，如手术费、药费、康复费等。这些费用应由工伤保险基金支付。
停工留薪期工资：在您因工伤需要暂停工作接受医疗期间，单位应按您原工资福利待遇支付停工留薪期工资。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
护理费：若您因工伤导致生活不能自理，需要护理的，单位应支付护理费。护理费的标准根据护理人员的收入状况和护理人数、期限确定。
一次性伤残补助金：根据您的伤残等级，您可以获得一次性伤残补助金。具体标准由国务院社会保险行政部门会同国务院财政部门规定，并适时调整。例如，十级伤残的一次性伤残补助金一般为7个月的本人工资。
一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：若您与单位解除或终止劳动关系，您还可以获得一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金。具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定。
四、赔偿途径
协商赔偿：您可以与单位就赔偿事宜进行协商，达成赔偿协议并履行。
劳动仲裁：若协商不成，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，由仲裁委员会依法裁决赔偿金额和支付方式。
诉讼赔偿：若对仲裁裁决不服，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，由法院依法审理并判决。
五、法律建议
鉴于工伤赔偿问题的复杂性和专业性，我建议您在处理此类问题时，寻求专业律师或法律援助机构的帮助。他们可以为您提供详细的法律咨询和法律援助，确保您的权益得到充分保护。
综上所述，公伤断了一个手指的赔偿问题需要根据工伤认定、伤情鉴定、赔偿项目及标准的确定以及赔偿途径的选择等步骤进行处理。希望以上解答能对您有所帮助。