结论前置：父母和子女断绝关系，在法律上通常不影响子女的继承权，除非存在法律规定的丧失继承权的情形或父母通过遗嘱明确排除了子女的继承权。

详细分析：

1. 亲生父母子女关系与法定继承权

   • 亲生父母与子女之间的关系是基于血缘形成的自然血亲关系，这种关系在法律上无法通过单方声明或协议解除。因此，即使父母和子女声称“断绝关系”，这种声明在法律上通常没有效力，不影响子女的法定继承权。
   • 在没有合法有效遗嘱的情况下，子女作为第一顺序继承人，对父母的遗产享有继承权。这是根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母。

2. 丧失继承权的特殊情形

   • 子女若存在《中华人民共和国民法典》第一千一百二十五条规定的行为，将丧失继承权。这些行为包括：故意杀害被继承人；为争夺遗产而杀害其他继承人；遗弃被继承人，或者虐待被继承人情节严重；伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重；以欺诈、胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更或者撤回遗嘱，情节严重。
   • 需要注意的是，如果继承人有上述第三项至第五项行为，但确有悔改表现，且被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。

3. 遗嘱继承与法定继承的关系

   • 父母有权通过订立合法有效的遗嘱，明确指定自己的财产由特定人继承，从而排除某个或某些子女的继承份额。遗嘱具有优先于法定继承的效力。
   • 如果父母在遗嘱中明确表示不让某子女继承，那么该子女不能按照遗嘱继承相应财产。但如果遗嘱未对全部财产进行处分，该子女仍有可能参与剩余财产的法定继承。

4. 收养关系与遗产继承

   • 如果父母与子女之间是收养关系，且收养关系已经依法解除，那么养子女对原养父母的遗产不再享有法定继承权。但如果在解除收养关系前，养父母已经立有遗嘱将遗产指定由养子女继承，该遗嘱仍然有效，养子女可依据遗嘱继承遗产。

法律建议：

• 在处理遗产继承问题时，应首先考虑是否存在合法有效的遗嘱。如果没有遗嘱或遗嘱无效，则按照法定继承的原则进行分配。
• 对于亲生子女而言，无论与父母的关系如何变化，只要未丧失继承权，均有权继承父母的遗产。但应尽量避免因家庭矛盾或冲突而影响继承权的行使。
• 如果对继承权有疑问或遇到继承纠纷，建议及时向我咨询，以便获得更准确的法律意见和帮助。

举例说明：

• 假设父母与子女之间因家庭矛盾而声称“断绝关系”，但并未通过法律程序解除父母子女关系。在父母去世后，子女仍然享有法定继承权，可以继承父母的遗产。
• 假设父母在遗嘱中明确表示不让某子女继承遗产，那么该子女在遗嘱生效后将无法继承遗嘱中指定的财产。但如果遗嘱未对全部财产进行处分，该子女仍有可能参与剩余财产的法定继承。