结论：私自抓住杀人犯并用自己在网上买的手铐将其送至公安局，这一行为本身并不直接等同于法律上的“立功”，但可能构成见义勇为或协助抓捕等情形，具体是否构成立功需结合实际情况和法律规定来判断。

一、立功的法律定义与构成要件

根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，立功是指犯罪分子有揭发他人犯罪行为，查证属实的，或者提供重要线索，从而得以侦破其他案件等表现的行为。立功的构成要件主要包括：

1. 主体要件：立功的主体通常是犯罪分子，即已经实施了犯罪行为并被司法机关追诉的人。不过，在特定情况下，非犯罪分子也可能因协助抓捕犯罪嫌疑人等行为而获得表彰或奖励，但这并不等同于法律上的“立功”。

2. 行为要件：立功行为通常包括揭发他人犯罪行为、提供重要线索、协助抓捕犯罪嫌疑人等。这些行为需要具有实际效果，即有助于司法机关侦破案件或抓捕犯罪嫌疑人。

3. 效果要件：立功行为必须查证属实，即所揭发的犯罪行为或提供的线索必须真实可靠，且对侦破案件或抓捕犯罪嫌疑人起到了实际作用。

二、私自抓捕并送交公安局的行为分析

1. 行为性质：私自抓捕并送交公安局的行为，虽然体现了公民对犯罪的愤慨和正义感，但并不直接符合立功的法律定义。因为立功通常要求行为人具有犯罪分子的身份，而私自抓捕者并非犯罪分子。

2. 可能构成的情形：

   • 见义勇为：如果私自抓捕行为是在保护他人生命、财产安全等紧急情况下进行的，且符合见义勇为的构成要件，那么该行为可能构成见义勇为，并受到社会的表彰和奖励。
   • 协助抓捕：如果私自抓捕者与司法机关有某种形式的合作或联系，且其抓捕行为对司法机关抓捕犯罪嫌疑人起到了实际协助作用，那么该行为可能被视为协助抓捕，并可能因此获得一定的表彰或奖励。但这种表彰或奖励并不等同于法律上的“立功”。

3. 法律风险：私自使用手铐等警用器械进行抓捕可能涉及非法使用警械等违法行为。根据《中华人民共和国人民警察法》等相关规定，警械只能由人民警察依法使用。私自使用警械可能面临行政处罚甚至刑事责任。

三、建议与提醒

1. 鼓励正当行为：虽然私自抓捕并送交公安局的行为不直接构成立功，但公民在遇到犯罪行为时，应鼓励采取正当、合法的方式协助司法机关抓捕犯罪嫌疑人，如及时报警、提供线索等。

2. 避免法律风险：在协助抓捕过程中，应避免使用非法手段或器械，以免触犯法律。如果确实需要采取某种措施来制止犯罪或保护自身安全，应尽量在合法范围内进行，并及时向司法机关报告。

3. 寻求专业帮助：如果您在协助抓捕过程中遇到任何法律问题或困惑，建议及时咨询专业律师以获取法律帮助和指导。

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