结论：公租房下来后没去签合同且没给租金，是否可以放弃，这取决于您与公租房管理方之间的具体约定以及相关法律法规的规定。一般来说，如果您未与公租房管理方签订正式合同且未支付租金，从法律层面讲，您并未正式获得该公租房的租赁权，因此理论上可以视为放弃。但具体还需考虑以下几种情况：
一、合同签订前的阶段
未签订合同且未支付租金：
- 在此阶段，由于您尚未与公租房管理方签订正式的租赁合同，也未支付任何租金，因此您并未正式成为该公租房的承租人。
- 从法律角度讲，您有权选择不继续租赁该公租房，即可以视为放弃。但建议您及时与公租房管理方沟通，明确表达您的意愿，以避免不必要的纠纷。
已收到入住通知但未行动：
- 如果您已经收到了公租房管理方的入住通知，但因个人原因未去签合同或支付租金，这可能会影响您的信用记录或未来申请公租房的资格。
- 建议您尽快与公租房管理方联系，说明情况并询问是否可以取消申请或放弃租赁权，以及是否需要承担任何责任。
二、合同签订后的阶段（虽您未签，但为全面分析，此处也进行说明）
已签订合同但未支付租金：
- 如果您已经与公租房管理方签订了租赁合同，但未按照合同约定支付租金，这可能构成违约行为。
- 在此情况下，公租房管理方有权根据合同约定追究您的违约责任，包括但不限于要求您支付租金、违约金或解除合同等。
- 但由于您实际上并未签订合同，所以此情况不适用，但为全面理解公租房租赁的法律关系，特此说明。
合同中的放弃条款：
- 有些公租房租赁合同中可能会包含关于放弃租赁权的条款，明确规定了在何种情况下承租人可以放弃租赁权以及需要承担的责任。
- 如果您未来签订了公租房租赁合同，并希望了解放弃租赁权的相关规定，请务必仔细阅读合同条款并咨询专业律师。
三、实际操作建议
及时沟通：
- 无论您是否决定放弃公租房，都建议您及时与公租房管理方沟通，明确表达您的意愿和原因。
- 通过沟通，您可以了解公租房管理方的具体要求和流程，以及是否需要承担任何责任或费用。
了解政策规定：
- 不同地区的公租房政策可能有所不同，因此建议您在做出决定前了解当地的相关政策规定。
- 您可以咨询当地的住房保障部门或相关机构，以获取更准确的信息和指导。
考虑未来影响：
- 放弃公租房可能会影响您未来申请公租房的资格或信用记录，因此请务必谨慎考虑。
- 如果您未来还有申请公租房的需求，建议您在放弃前权衡利弊并咨询专业律师的意见。
最后，如果您在公租房租赁过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专注于经济纠纷和房产纠纷领域的律师，我将竭诚为您提供专业、全面的法律服务。