结论：公务员不给解决问题且不让下班的行为是否违法，需根据具体情况判断，一般而言，若该行为违反了公务员的职责规定或劳动法相关规定，则可能构成违法。

分析说明：

1. 公务员职责角度：

   • 公务员作为国家机关的工作人员，其职责是依法履行公务，为公众提供服务。如果公务员在工作时间无正当理由拒绝履行职责，不给解决问题，这可能构成失职或渎职行为，但并不直接等同于违法（在未造成严重后果时，通常属于违纪范畴）。然而，若该行为严重到构成滥用职权、玩忽职守等犯罪行为，则将受到刑法的制裁。
   • 关于不让下班的问题，如果公务员以不正当手段阻止他人下班，且这种行为没有合法的依据或合理的理由，那么这种行为可能侵犯了他人的合法权益，如休息权等。但这种情况是否违法，还需结合具体情境和法律规定来判断。

2. 劳动法角度：

   • 从劳动法的角度来看，公务员与国家机关之间构成劳动关系（尽管公务员法有特殊规定，但在某些方面仍可参照劳动法精神）。如果公务员的行为导致其他工作人员无法正常下班，且这种行为没有合法的依据或合理的理由，那么可能构成对劳动法的违反，如强迫劳动等。但需要注意的是，公务员法对公务员的工作时间和休息休假有特殊规定，需结合具体规定来判断。
   • 具体来说，如果公务员的行为导致其他工作人员超出了法定工作时间且未获得相应补偿，或者剥夺了其休息休假的权利，那么这种行为可能构成违法。

特殊场景：

• 在某些特殊情况下，如紧急任务、突发事件处理等，公务员可能需要加班或延长工作时间。这种情况下，不让下班可能是出于工作需要，且通常会有相应的补偿或调休安排。这种行为不构成违法。

行动建议：

• 如果您遇到了公务员不给解决问题且不让下班的情况，首先可以尝试与该公务员或其上级进行沟通，了解原因并寻求解决方案。
• 如果沟通无果，您可以向该公务员所在的机关或上级机关进行投诉或举报，要求其依法履行职责并保障您的合法权益。
• 在必要时，您还可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师（即向我咨询），以了解您的具体权益和可行的法律途径。

法律背景：

• 根据《中华人民共和国公务员法》的相关规定，公务员应当履行忠于国家、服务人民、恪尽职守、清正廉洁等义务。如果公务员违反这些义务，可能会受到相应的纪律处分或法律制裁。
• 同时，根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定（在公务员法有特殊规定的除外），劳动者有休息休假的权利，用人单位不得强迫劳动者劳动或剥夺其休息休假的权利。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。