关于第三方合同辞退员工的赔偿问题，这确实是一个涉及多个因素和情境的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、劳务派遣合同下的辞退与赔偿
合法辞退：
- 如果劳动者存在如试用期内不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等法定情形，用工单位可以将劳动者退回劳务派遣单位，且劳务派遣单位依法与劳动者解除劳动合同时，无需支付经济补偿，但需结清工资。
违法辞退：
- 若劳务派遣单位辞退劳动者不符合法定情形，即构成违法解除劳动合同，此时劳务派遣单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 劳务派遣单位与用工单位在此情况下可能需承担连带赔偿责任。
二、劳务外包合同下的辞退与赔偿
- 在劳务外包合同下，双方不构成劳动关系，因此一般不适用劳动法律法规中关于辞退赔偿的规定。但如果合同中有关于提前解除合同的违约责任约定，违约方需按合同约定承担相应责任，如支付违约金等赔偿费用。
三、被辞退后的处理步骤与建议
明确辞退原因：
- 要求用工单位或劳务派遣单位明确说明辞退的具体原因，并保留好相关证据。
查看合同及协议：
- 仔细查看劳动合同及劳务派遣协议中关于辞退、补偿等相关条款的约定。
收集证据：
- 积极收集能证明劳动关系、工作年限、工资标准及辞退原因等相关证据，如劳动合同、工资流水、工作证、考勤记录、辞退通知等。
协商：
- 尝试与劳务派遣单位或用工单位进行协商，提出合理诉求，如要求支付赔偿金、经济补偿金等。
法律途径：
- 若协商不成，可向劳动监察部门投诉，请求其介入调查处理。
- 也可直接申请劳动仲裁，提供相关证据支持自己的主张。
- 对仲裁结果不服的，还可向法院提起诉讼，通过法律途径维护自身合法权益。
综上所述，第三方合同辞退员工的赔偿情况需根据合同性质、辞退原因及合同约定等多方面因素综合判断。劳动者在面临此类情况时，应充分了解自身权益，并依法采取适当措施维护自身合法权益。