在指定管辖案件中，延长留置的申请应由监察机关提出。以下是对此问题的详细分析：

一、留置措施的适用与延长

留置是监察机关在调查过程中，对涉嫌严重职务违法或者职务犯罪的被调查人，依法采取的一项限制其人身自由的措施。根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，留置时间一般不得超过三个月，但在特殊情况下，可以延长一次，延长时间不得超过三个月。

二、延长留置的申请主体

1. 监察机关的职责：监察机关是负责调查职务违法和职务犯罪的专门机关，其有权在调查过程中采取留置措施，并在符合法定条件时申请延长留置时间。
2. 申请延长的程序：当监察机关认为需要延长留置时间时，应当按照法定程序，向上一级监察机关提出申请。上一级监察机关在收到申请后，会进行审查，并作出是否批准的决定。

三、指定管辖案件中的特殊情况

在指定管辖案件中，虽然案件的管辖权可能由上级监察机关指定给下级监察机关，但延长留置的申请程序并不因此而改变。即，无论案件是否由指定管辖，延长留置的申请均应由负责调查的监察机关（可能是被指定的下级监察机关）向上一级监察机关提出。

四、法律依据

• 《中华人民共和国监察法》：该法第四十三条规定了留置措施的适用条件和延长程序，是处理此类问题的直接法律依据。具体条款为：“留置时间不得超过三个月。在特殊情况下，可以延长一次，延长时间不得超过三个月。省级以下监察机关采取留置措施的，延长留置时间应当报上一级监察机关批准。监察机关发现采取留置措施不当的，应当及时解除。”

五、建议与注意事项

1. 严格遵守法定程序：监察机关在申请延长留置时间时，必须严格遵守法定程序，确保申请的合法性和有效性。
2. 保障被调查人权益：在延长留置期间，监察机关应依法保障被调查人的合法权益，如提供必要的生活条件、允许其与家人联系等。
3. 及时审查与决定：上一级监察机关在收到延长留置的申请后，应及时进行审查，并作出是否批准的决定，以确保调查工作的顺利进行。

如有任何关于指定管辖案件或延长留置的法律问题，可以直接向我咨询。