结论：打架被拘留15天，一般情况下不会直接影响能否担任支部书记，但具体还需根据拘留的性质、后续影响以及相关组织的规定来判断。
分析说明：
拘留性质与影响：
- 打架被拘留15天，通常属于行政拘留，是公安机关对违反治安管理行为人的一种行政处罚。这种拘留并不涉及刑事犯罪，因此不会留下刑事犯罪记录。
- 然而，行政拘留虽然不构成刑事犯罪，但仍然是一种不良记录，可能对个人的社会评价产生一定影响。
支部书记的任职资格：
- 支部书记的任职资格通常由相关组织（如党组织、村委会等）根据内部规定和选举程序来确定。
- 这些规定可能包括年龄、政治素质、道德品质、工作能力等方面的要求，但并不一定明确排除有行政拘留记录的人员。
具体判断因素：
- 拘留原因与情节：如果打架行为情节轻微，且个人在事后有积极的改正表现，可能对担任支部书记的影响较小。
- 组织规定与态度：不同组织对支部书记的任职资格可能有不同的规定和态度。有些组织可能更注重个人的政治素质和道德品质，而不太在意过去的行政拘留记录；而有些组织则可能对此持较为严格的态度。
- 公众舆论与影响：如果打架行为引起了较大的社会关注或不良影响，可能对个人担任支部书记产生不利影响。
特殊场景：
- 如果打架行为被认定为严重违反社会治安管理，或者个人在拘留期间有逃避、抗拒等行为，可能进一步加剧对其担任支部书记资格的不利影响。
- 另外，如果相关组织在选举或任命支部书记时，明确规定了不得有行政拘留记录等类似条件，那么打架被拘留15天的人员将不符合担任支部书记的资格。
建议与行动：
- 如果你或他人因打架被拘留15天，并希望担任支部书记，建议首先了解相关组织的规定和态度。
- 可以积极展示自己的改正表现和积极态度，争取获得组织的认可和支持。
- 同时，也要做好应对可能的不利影响的准备，如接受组织的考察、解释拘留原因等。
后续法律后果与风险提示：
- 打架被拘留15天本身不会直接导致无法担任支部书记，但可能因组织规定、公众舆论等因素产生间接影响。
- 如果因打架行为引发其他法律问题（如民事赔偿、刑事责任等），则可能进一步影响个人担任支部书记的资格和声誉。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。