面对您车辆被撞且对方逃逸，而交警迟迟未出具交通事故责任认定书的情况，这确实是一个令人焦急的问题。不过，您可以采取一系列措施来有效推进事情进展，并维护自己的合法权益。以下是我为您详细整理的应对步骤：
一、了解相关法律法规
首先，您需要了解相关的法律法规。根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条，公安机关交通管理部门应当根据交通事故现场勘验、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作交通事故认定书。这是交警部门处理交通事故的法定程序，也是您后续维权的重要依据。
二、主动与交警部门沟通
了解原因： 您可以直接前往负责该案件的交警大队，礼貌地询问承办民警责任认定书延迟出具的具体原因。可能是事故调查复杂性较高，或者检验鉴定工作尚未完成等。
关注案件进展： 在沟通过程中，同时了解案件的最新调查进度，包括逃逸者是否已被找到，以及相关检验鉴定工作的完成情况。这有助于您了解事情的整体进展，并做出相应的应对。
三、依据法律规定提醒交警
如果交警未能在规定时间内出具责任认定书，且没有合理理由，您可以考虑以书面形式向交警部门发送催告函。催告函中应明确指出法律规定的出具期限，并要求尽快依法作出责任认定。同时，确保催告函通过可靠方式送达，并保留好相关凭证。
四、向上级部门反映情况
内部投诉： 如果与承办交警及所在大队沟通无果，您可以向交警大队的上级部门（如当地公安局交通管理局的法制科或督察部门）反映情况，请求督促交警部门尽快出具责任认定书。
政务服务热线： 您还可以拨打当地的政务服务便民热线（如12345），详细说明事情经过，寻求政府相关部门的协调帮助。这通常是一个有效的途径，能够促使问题得到更快解决。
五、寻求法律援助
如果交警部门仍然拒绝开具事故认定书，或者您对责任认定结果有异议，您应咨询专业律师。律师将根据您的具体情况提供法律建议，并协助处理相关事宜。这包括但不限于准备法律文件、参与调解或诉讼等。
六、保留证据并考虑其他途径
保留证据： 在此期间，务必保留好现场照片、证人证言等相关证据。这些证据在后续的责任认定及可能的法律程序中至关重要。
考虑其他途径： 如果因责任认定书未出具而导致权益受损，您可以在后续的法律程序中主张相应的赔偿。此外，您还可以考虑通过调解或诉讼等方式解决纠纷。调解可以在双方自愿的基础上进行，而诉讼则是通过法院对纠纷进行裁决。
综上所述，面对对方逃逸且交警迟迟不下交通事故责任认定书的情况，您应积极采取措施来保障自己的权利。通过了解法律法规、与交警部门沟通、向上级部门反映情况、寻求法律援助以及保留证据并考虑其他途径等方式，您将能够更有效地维护自己的合法权益。希望这些建议能够对您有所帮助。