当老人未立遗嘱过世后，其遗产的继承将遵循法定继承的规则进行。以下是我为您详细梳理的法定继承的相关要点：
一、法定继承人的范围和顺序
第一顺序继承人：这包括老人的配偶、子女（无论是婚生子女、非婚生子女、养子女还是有扶养关系的继子女）以及父母（生父母、养父母和有扶养关系的继父母）。在继承开始后，将由这一顺序的继承人优先继承遗产。
第二顺序继承人：若没有第一顺序继承人，或者第一顺序继承人放弃继承权，那么遗产将由第二顺序继承人继承，这包括兄弟姐妹（同父母的、同父异母或同母异父的、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹）、祖父母和外祖父母。
二、法定继承的份额分配原则
均等原则：在大多数情况下，同一顺序的继承人会均分遗产。
特殊照顾原则：对于那些生活有特殊困难且缺乏劳动能力的继承人，在分配遗产时会给予适当的照顾。
多尽义务多分原则：如果某个继承人对被继承人尽了主要的扶养义务，或者与被继承人共同生活，那么他/她可能会多分得一些遗产。
不尽义务少分或不分原则：相反，如果某个继承人有扶养能力和条件，但却未尽扶养义务，那么在分配遗产时，他/她可能会被少分或者不分。
协商分配原则：继承人之间也可以通过协商的方式，不均等地分配遗产，但这种协议必须合法且不违反公序良俗。
三、法定继承的程序
确定继承开始时间：继承自被继承人死亡时开始。如果相互有继承关系的数人在同一事件中死亡，且难以确定死亡时间，那么会按照法律规定的顺序推定死亡时间。
明确遗产范围：需要清理并确定老人的个人财产，这包括房产、存款、股票、珠宝、艺术品等。同时，要注意区分夫妻共同财产与个人财产。
通知继承人：知悉被继承人死亡的继承人应及时通知其他继承人和相关执行人。如果无法通知或没有继承人知晓，那么由被继承人生前单位或住所地居委会、村委会负责通知。
协商或诉讼：继承人可以就遗产分配进行协商，达成一致后签订遗产分配协议并按协议执行。如果协商不成，任何一位继承人都可以向人民法院提起诉讼，由法院依法判决。
四、特殊情况与注意事项
代位继承：如果被继承人的子女先于被继承人死亡，那么由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。同样，如果被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡，那么由被继承人的兄弟姐妹的子女代位继承。
转继承：如果继承人在继承开始后、遗产分割前死亡，那么他/她所应继承的遗产份额将转由其继承人继承。
酌情分得遗产权：对于那些依靠被继承人扶养的人，或者对被继承人扶养较多的人，即使他们不是法定继承人，也可以分给适当的遗产。
法律咨询：在处理遗产继承问题时，务必遵守法律法规和相关程序规定。如果遇到争议或不确定的情况，建议咨询专业律师以获取法律帮助和指导。
举个例子来说，如果一位老人去世后未留下遗嘱，且其配偶已先于其去世，有一个儿子和一个女儿，父亲已去世但母亲仍健在，还有一个弟弟和两个妹妹。在这种情况下，老人的遗产将由其儿子、女儿和母亲作为第一顺序继承人共同继承。而弟弟和妹妹作为第二顺序继承人，由于存在第一顺序继承人，因此他们不会参与继承。
希望这些信息能够帮助您更好地理解法定继承的规则和程序。如果您有任何进一步的问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。