在房产继承诉讼中，被告确实有权提出增加银行存款作为遗产范围进行分配的请求，但这一请求能否得到支持，需视具体情况而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与原则
根据《中华人民共和国民法典》中关于继承的相关规定，遗产是公民死亡时遗留的个人合法财产，包括但不限于公民的收入、房屋、储蓄和生活用品等。因此，银行存款作为公民的合法财产，在遗产继承中理应被纳入考虑范围。
二、被告提出增加银行存款的请求
请求的合法性：
- 被告作为遗产的潜在继承人，有权对遗产的范围提出异议或补充。如果被告认为原告提出的遗产范围不完整，遗漏了银行存款等重要财产，那么被告完全有权在诉讼中提出增加银行存款作为遗产进行分配的请求。
请求的提出时机：
- 被告应在诉讼过程中，即法庭辩论终结前，提出增加遗产范围的请求。这通常需要在答辩状中明确提出，或者在庭审过程中通过口头或书面形式向法庭提出。
请求的证明责任：
- 被告提出增加银行存款作为遗产的请求后，需要承担相应的证明责任。即被告需要提供证据证明被继承人生前确实拥有该银行存款，且该存款未被原告或其他继承人非法转移或隐匿。
三、法庭对请求的审查与处理
审查证据：
- 法庭会对被告提出的证据进行审查，包括银行存款的存单、银行流水记录、被继承人的遗嘱或相关遗嘱执行文件等。如果证据充分、确凿，法庭会认可该银行存款作为遗产的一部分。
分配原则：
- 如果法庭认可了被告提出的增加银行存款的请求，那么该银行存款将作为遗产的一部分，按照法定继承或遗嘱继承的原则进行分配。在分配过程中，法庭会考虑各继承人的继承份额、对被继承人的赡养情况等因素。
四、可能遇到的法律后果与建议
法律后果：
- 如果被告未能提供充分证据证明银行存款的存在，或者该存款已被原告或其他继承人非法转移或隐匿，那么被告的请求可能不会被法庭支持。此外，如果被告在诉讼过程中存在恶意诉讼、虚假陈述等行为，还可能面临法律制裁。
建议：
- 作为被告，在提出增加银行存款作为遗产的请求前，应充分收集相关证据，确保请求的合法性和合理性。同时，在诉讼过程中应遵守法庭纪律，如实陈述事实，避免恶意诉讼或虚假陈述等行为。
- 如果您在处理此类案件时遇到困难或疑问，建议及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。
总结来说，被告在房产继承诉讼中提出增加银行存款作为遗产范围进行分配的请求是合法的，但能否得到支持需视具体情况和证据而定。如果您或您身边的人遇到类似问题，欢迎直接向我咨询，我会为您提供专业的法律支持。