当国家机关行使权力时出现违法行为，公民或组织可通过以下途径进行监督与救济：

1. 行政复议
   若认为国家机关的具体行政行为违法或不当，可向其上一级行政机关或法定复议机构申请复议。复议机关需在法定期限内审查并作出决定，若维持原行为，可进一步提起行政诉讼；若撤销或变更，则原行为失效。此途径适用于行政处罚、许可、强制等具体行政行为。

2. 行政诉讼
   直接向法院提起诉讼，要求撤销或确认违法行政行为，并可主张赔偿。法院将独立审查行政行为的合法性，若认定违法，可判决撤销、变更或要求行政机关履行法定职责。此途径适用于所有侵犯合法权益的行政行为，但需注意起诉期限（通常为知道行为之日起6个月内）。

3. 国家赔偿
   若国家机关的违法行为造成公民、法人或其他组织人身权或财产权损害，可依据《国家赔偿法》申请赔偿。赔偿范围包括人身自由赔偿、生命健康赔偿、财产损害赔偿等，但需证明违法行为与损害结果之间的因果关系。

4. 信访与举报
   通过信访渠道向有权机关反映问题，或向监察机关、检察机关举报国家机关工作人员的职务违法行为。信访需遵循法定程序，举报则可能触发刑事追责或纪律处分，但需注意举报内容的真实性与证据支持。

5. 立法监督与舆论监督
   通过人大代表或政协委员提出议案、建议，推动立法或监督机关介入；或通过媒体、网络等渠道公开披露违法行为，形成社会监督压力。但需注意舆论监督的合法性，避免侵犯他人名誉权或泄露国家秘密。

行动建议：

• 优先选择法定救济途径（复议、诉讼），确保程序合法性与证据效力；
  
• 保留相关证据（如书面文件、录音录像、证人证言等），以支持主张；
  
• 若涉及重大权益或复杂法律问题，可进一步向我咨询具体操作策略。