当某人因犯罪被判处拘役两个月时，银行的处理方式主要取决于法院的判决以及后续的执行措施，特别是当判决中包含罚金时。以下是对此问题的详细解答：

首先，需要明确的是，拘役是刑事处罚的一种，它本身并不直接导致银行账户的变动或处理。然而，如果判决中同时包含了罚金，那么银行账户就可能会受到法院执行措施的影响。

1. 罚金缴纳：

   • 如果判决中明确规定了罚金金额，并且被执行人（即被判处拘役的人）未在规定期限内缴纳，法院有权采取强制执行措施。
   • 法院可能会通过网络查询被执行人名下的银行账户，并依法采取冻结措施，以确保罚金的顺利缴纳。

2. 银行账户冻结：

   • 一旦法院决定冻结被执行人的银行账户，银行将根据法院的冻结令，限制该账户的资金流动。
   • 被执行人将无法从该账户中取款或进行其他资金操作，直到法院解除冻结或罚金全部缴纳完毕。

3. 后续处理：

   • 如果被执行人主动缴纳了罚金，或者法院通过其他方式（如拍卖被执行人财产）获得了足够的资金来支付罚金，法院将解除对银行账户的冻结。
   • 如果被执行人拒不缴纳罚金，并且没有其他可供执行的财产，法院可能会采取进一步的强制执行措施，如将被执行人列入失信被执行人名单，限制其高消费等。

4. 具体案例参考：

   • 以您提供的第一个案例为例，董某某因危险驾驶罪被判处拘役二个月，并处罚金4000元。由于未在期限内缴纳罚金，其银行账户被法院冻结，最终促使他主动履行了罚金义务。
   • 第二个案例中，欧某某因帮助信息网络犯罪活动罪被判处拘役二个月，并处罚金2000元。虽然案例中未直接提及银行账户的处理，但可以推断，如果欧某某未缴纳罚金，其银行账户同样可能面临冻结等强制执行措施。

总结与建议：

• 如果您或您认识的人因犯罪被判处拘役并附带罚金，建议尽快缴纳罚金以避免不必要的法律后果。
• 如果确实无法一次性缴纳罚金，可以向法院申请分期缴纳或提供其他财产作为担保。
• 遵守法律法规，避免涉及任何犯罪行为，是维护个人财产安全和信用记录的最佳方式。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。