结论：轻微伤行政处罚后，双方仍然可以就赔偿问题进行私了协商，但需注意行政处罚与民事赔偿是两个独立的法律程序，私了赔偿不影响行政处罚的执行，且需确保赔偿协议合法有效。

详细分析：

1. 行政处罚与民事赔偿的独立性：

   • 行政处罚：针对违反行政管理秩序的行为，由行政机关依法对违法行为人进行的制裁。在轻微伤案件中，行政处罚可能包括罚款、拘留等。
   • 民事赔偿：因侵权行为造成他人损害，侵权人应承担的赔偿责任。在轻微伤案件中，民事赔偿主要涉及医疗费、误工费、护理费等经济损失的赔偿。
   • 关键点：行政处罚与民事赔偿是两个独立的法律程序，行政处罚的执行不影响民事赔偿的协商和履行，反之亦然。

2. 私了赔偿的合法性：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵权行为造成他人损害的，侵权人应当承担侵权责任。双方可以在自愿、平等的基础上，就赔偿问题进行协商，达成赔偿协议。
   • 合法性要求：赔偿协议应当合法有效，不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得违背公序良俗。赔偿协议的内容应当明确、具体，包括赔偿的项目、金额、支付方式等。
   • 注意事项：私了赔偿时，应确保赔偿协议的真实性、合法性和有效性。建议双方在协商过程中，可以寻求律师或法律专业人士的协助，以确保赔偿协议的合法性和有效性。

3. 私了赔偿对行政处罚的影响：

   • 不影响执行：私了赔偿不影响行政处罚的执行。行政机关对违法行为人作出的行政处罚决定，是依法独立行使的职权，不受民事赔偿协商结果的影响。
   • 可能作为量罚情节：在行政处罚过程中，如果违法行为人积极赔偿受害人的损失，并取得受害人的谅解，行政机关在量罚时可能会考虑这一情节，对违法行为人从轻或减轻处罚。但这一情节并不影响行政处罚的独立性。

4. 实际操作建议：

   • 及时协商：在轻微伤案件中，双方可以及时就赔偿问题进行协商，以达成赔偿协议，避免纠纷的进一步升级。
   • 保留证据：在协商过程中，双方应保留好相关证据，如医疗记录、费用单据等，以便在协商不成时，通过法律途径解决纠纷。
   • 寻求法律帮助：如果双方在协商过程中遇到法律问题或争议，可以寻求律师或法律专业人士的帮助，以确保协商的合法性和有效性。

总结：轻微伤行政处罚后，双方仍然可以就赔偿问题进行私了协商。但需注意行政处罚与民事赔偿的独立性，确保赔偿协议的合法性和有效性，并了解私了赔偿对行政处罚的影响。如有任何法律问题或争议，可以直接向我咨询。