在不予执行仲裁裁决的申请被驳回后，是可以申请执行监督的。以下从多个角度为你详细分析：

法律依据与执行监督的性质

根据相关法律规定及司法实践，执行监督是司法机关对执行活动进行监督的一种重要机制。当一方当事人认为执行行为存在违法或不当情形，损害其合法权益时，可以向相关司法机关申请执行监督。在不予执行仲裁裁决的申请被驳回后，若当事人认为该驳回决定存在错误或不当，自然有权寻求进一步的法律救济，即申请执行监督。

申请执行监督的条件与程序

1. 条件：

   • 当事人需有充分的证据证明不予执行仲裁裁决的驳回决定存在错误或不当。
   • 申请执行监督的事项需属于司法机关监督的范围，如执行行为违反法定程序、执行人员存在违法行为等。

2. 程序：

   • 当事人应向作出驳回决定的司法机关（通常是法院）提交书面申请，详细阐述申请执行监督的理由和依据。
   • 司法机关在收到申请后，会进行审查，并根据审查结果决定是否启动执行监督程序。
   • 若司法机关决定启动执行监督程序，会依法进行调查核实，并根据调查结果作出相应的处理决定。

申请执行监督的可能结果

1. 维持原决定：若司法机关经审查认为驳回决定无误，会维持原决定，即不予执行仲裁裁决的驳回决定继续有效。
2. 撤销或变更原决定：若司法机关经审查认为驳回决定存在错误或不当，会撤销或变更原决定，即可能撤销不予执行仲裁裁决的驳回决定，并指令原执行机关继续执行仲裁裁决。

实际操作中的建议

1. 充分准备证据：在申请执行监督前，当事人应充分准备证据，以证明不予执行仲裁裁决的驳回决定存在错误或不当。这些证据可以包括仲裁裁决书、驳回决定书、相关证据材料等。
2. 寻求专业帮助：由于执行监督程序涉及复杂的法律问题和程序要求，当事人可以寻求专业律师的帮助，以确保申请的合法性和有效性。
3. 关注时效问题：申请执行监督也需注意时效问题，当事人应在法定期限内提出申请，以免丧失申请权利。

总结来说，不予执行仲裁裁决被驳回后，当事人是有权申请执行监督的。但申请执行监督需满足一定条件，并遵循相应的程序。若你面临此类情况，建议充分准备证据，寻求专业帮助，并关注时效问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。