结论前置：劳动仲裁调解书裁定不予执行后，您仍然可以申请仲裁监督，但具体能否得到支持需视情况而定。以下从多个角度为您详细分析：
一、仲裁监督的法律依据与性质
根据《劳动争议调解仲裁法》及相关司法解释，仲裁监督是对仲裁裁决或调解书执行过程中可能出现的错误或不当行为进行纠正的一种机制。当劳动仲裁调解书被裁定不予执行时，往往意味着该调解书在执行过程中存在某些问题，如违反法定程序、证据不足、适用法律错误等。此时，申请仲裁监督是当事人维护自身合法权益的一种途径。
二、申请仲裁监督的条件与程序
申请条件：
- 调解书已被法院裁定不予执行；
- 当事人认为不予执行的裁定存在错误或不当；
- 申请仲裁监督的事项属于仲裁委员会的受理范围。
申请程序：
- 提交申请：当事人应向作出原仲裁裁决或调解书的仲裁委员会提交仲裁监督申请书，并附上相关证据材料。
- 审查受理：仲裁委员会在收到申请后，会进行初步审查，决定是否受理。
- 审查处理：仲裁委员会会组织专门人员对申请进行审查，必要时可以举行听证会。审查结束后，会作出是否撤销原裁决或调解书、重新仲裁或驳回申请的决定。
三、申请仲裁监督的可能结果
撤销原调解书并重新仲裁：
- 如果仲裁委员会认为原调解书确实存在错误或不当，且符合重新仲裁的条件，可能会撤销原调解书并指令重新仲裁。
驳回申请：
- 如果仲裁委员会认为原调解书并无错误或不当，或者申请仲裁监督的事项不属于其受理范围，可能会驳回申请。
其他处理方式：
- 在某些情况下，仲裁委员会也可能根据具体情况采取其他处理方式，如建议当事人通过诉讼途径解决争议等。
四、申请仲裁监督的注意事项
及时申请：
- 当事人应在知道或应当知道调解书被裁定不予执行之日起一定期限内（具体期限可能因地区而异）申请仲裁监督，以免错过申请时机。
充分准备证据：
- 当事人在申请仲裁监督时，应充分准备相关证据材料，以证明原调解书存在错误或不当。
遵循法定程序：
- 当事人在申请仲裁监督过程中，应严格遵循法定程序和要求，确保申请的合法性和有效性。
五、后续建议
- 如果仲裁监督申请被驳回：您还可以考虑通过诉讼途径解决争议。根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，当事人对仲裁裁决不服的，可以自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 如果仲裁监督申请得到支持：您应积极配合仲裁委员会的重新仲裁工作，提供必要的证据和材料，以维护自己的合法权益。
最后，劳动仲裁调解书裁定不予执行后申请仲裁监督是一个复杂且需要谨慎处理的过程。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。