结论：在员工未经允许私自请病假且没有医院病历证明的情况下，公司可以依据内部规章制度，按照旷工处理并填写旷工单。但在操作过程中，公司需确保规章制度的合法性、合理性，并遵循一定的程序。

分析说明：

1. 规章制度依据：

   • 公司应首先确认其内部是否有关于病假、旷工以及相应处理措施的明确规章制度。这些规章制度应当经过民主程序制定，且内容不违反法律法规的强制性规定。
   • 规章制度中应明确规定，员工请病假需提供医院出具的病历证明或其他有效医疗证明。若员工未能提供，且未经公司批准擅自离岗，公司有权视为旷工。

2. 旷工单的填写：

   • 旷工单应详细记录员工的姓名、部门、旷工日期、旷工时长以及旷工事实依据（如未提供病历证明、未经批准擅自离岗等）。
   • 旷工单应由直接上级或人力资源部门负责人签字确认，并加盖公司公章，以确保其正式性和有效性。

3. 程序合法性：

   • 在处理旷工问题时，公司应确保遵循内部规章制度规定的程序，如提前通知员工、给予员工陈述和申辩的机会等。
   • 若公司决定对员工进行纪律处分（如警告、罚款、解除劳动合同等），应确保处分决定符合规章制度的规定，且程序合法。

4. 法律风险防范：

   • 公司在处理此类问题时，应谨慎行事，避免侵犯员工的合法权益。例如，不得因员工未提供病历证明而直接解除劳动合同，除非规章制度中有明确规定且符合法律法规的强制性规定。
   • 若员工对旷工处理决定不服，可能会引发劳动争议。因此，公司在处理过程中应保留好相关证据，如旷工单、规章制度、员工请假记录等，以备不时之需。

实际操作建议：

• 完善规章制度：公司应定期审查并更新其内部规章制度，确保其内容合法、合理且符合实际情况。
• 加强员工培训：通过培训等方式，让员工了解公司的规章制度以及请病假的正确流程和要求。
• 建立沟通机制：鼓励员工在遇到问题时及时与公司沟通，以便公司能够及时了解情况并作出合理处理。

后续行动指南：

• 若公司决定对员工进行旷工处理，应按照规章制度规定的程序进行，并确保处理决定合法、合理。
• 若员工对处理决定不服，公司应积极与员工沟通协商，寻求妥善解决方案。若协商无果，可考虑通过劳动争议调解、仲裁或诉讼等途径解决争议。

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