关于空调外机的管理部门及其法律依据，这主要取决于空调外机的安装、使用及其可能产生的环境影响等多个方面。以下是根据相关法律法规和政策文件，为您提供的详细解答：
一、管理部门
区、县人民政府：
- 根据《西安市空调设备安装使用管理办法》第四条，区、县人民政府负责辖区内空调设备安装使用的监督管理工作。这意味着，在地方层面，区、县人民政府是空调外机安装、使用及其监督管理的直接责任主体。
市环境保护行政管理部门：
- 同样根据《西安市空调设备安装使用管理办法》第四条，市环境保护行政管理部门负责全市空调设备安装、使用监督指导和管理工作。这表明，在市级层面，环境保护行政管理部门在空调外机的管理上扮演着重要角色，特别是当空调外机的安装、使用可能对环境产生影响时。
其他相关部门：
- 在特定情况下，如空调外机的安装涉及建筑安全、城市规划等问题时，还可能涉及建设、规划等相关部门的监管。
二、法律依据
《西安市空调设备安装使用管理办法》：
- 该办法明确规定了空调设备的定义（包括分体式空调室外机、柜式空调室外机等），以及空调设备安装、使用的监督管理责任主体和具体要求。例如，它要求安装、使用空调设备应当维护市容整洁，不得有碍市容观瞻，不得影响交通畅通；临街安装空调设备应当符合国家标准规范等。
《中华人民共和国环境保护法》：
- 作为环境保护领域的基本法律，该法为空调外机的管理提供了宏观的法律框架。虽然它并未直接提及空调外机的具体管理要求，但强调了环境保护的重要性，以及各级人民政府在环境保护方面的职责。
《国务院办公厅关于严格执行公共建筑空调温度控制标准的通知》：
- 该通知虽然主要关注的是公共建筑空调的温度控制标准，但间接体现了国家对空调使用环节节能环保工作的重视。它要求各级国家机关带头厉行节约，严格执行空调温度控制标准，并加强督促检查，确保相关规定和措施得到贯彻落实。这在一定程度上也影响了空调外机的管理，因为合理的空调使用（包括温度控制）有助于减少能源消耗和环境污染。
三、综合分析
空调外机的管理主要涉及区、县人民政府和市环境保护行政管理部门，具体依据包括地方性法规（如《西安市空调设备安装使用管理办法》）和国家级法律法规（如《中华人民共和国环境保护法》）。在特定情况下，还可能涉及其他相关部门。这些法律法规和政策文件共同构成了空调外机管理的法律框架，确保了空调外机的安装、使用及其监督管理有法可依、有章可循。