针对您提出的“物业把空调外机挂外立面归哪个部门管”的问题，这确实是一个涉及多个管理部门职责的复杂情况。以下是我为您详细梳理的解答：
首先，我们需要明确的是，空调外机挂在外立面的管理并非单一部门负责，而是根据具体情况，可能由城市管理综合执法部门、物业管理部门、住房和城乡建设部门或消防部门等依法进行管理和处理。
城市管理综合执法部门（城管）：
- 如果空调外机的悬挂方式破坏了城市外观形象、市容秩序，比如悬挂在建筑外立面明显位置且严重影响整体美观，那么城管部门有权依据相关城市管理法规进行处理和处罚。
物业管理部门：
- 在小区内，物业管理公司依照与业主签订的物业服务合同和小区管理规约，负责维护公共秩序和建筑物外观。因此，如果空调外机乱挂影响了小区环境整洁和安全，物业有权要求业主进行整改。
住房和城乡建设部门：
- 如果空调外机的悬挂方式违反了建筑外立面管理规定，或者存在安全隐患，比如外机安装不稳固、可能掉落等，那么住建部门可以依法介入处理，确保建筑使用的合规性和安全性。
消防部门：
- 如果空调外机的悬挂位置影响到消防安全，比如阻碍了消防通道、距离易燃物过近等，那么消防部门有权责令整改，以消除火灾隐患，保障人民生命财产安全。
实际操作建议：
- 在遇到此类问题时，您首先应确定违规行为的性质、地点及可能造成的后果，以便确定具体的管理部门。
- 如果问题发生在小区内，您可以先向物业管理部门反映情况，要求他们进行协调和处理。
- 如果问题涉及到城市容貌或建筑规范，您可以向城市管理综合执法部门或住房和城乡建设部门投诉。
- 如果存在消防安全隐患，您应立即向消防部门报告，以确保问题得到及时解决。
最后，我想强调的是，了解并遵守当地的相关法律法规和管理规定，是避免空调外机乱挂问题的关键。同时，各管理部门也应加强协作与沟通，共同维护城市的整洁、安全和有序。希望我的解答能够对您有所帮助。