针对您提出的“烧烤油烟该谁管”的问题，这是一个涉及环境保护和城市管理的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

首先，烧烤油烟的管理主要归属于环境保护和城市管理两大部门。根据《中华人民共和国大气污染防治法》的相关规定，排放油烟的餐饮服务业经营者，包括烧烤店，应当安装油烟净化设施并保持正常使用，或者采取其他油烟净化措施，以确保油烟达标排放，并防止对附近居民的正常生活环境造成污染。

1. 环境保护部门：

   • 各级人民政府环境保护行政主管部门负责将防治饮食业油烟污染监督管理纳入正常的环境管理范围，并切实履行职责，解决居民居住环境污染问题。
   • 他们会根据《饮食业油烟排放标准(试行)》等相关法规，对新建或改建、扩建的饮食业单位，包括烧烤店，进行监管，确保其安装符合要求的油烟净化设备，并严格执行环境保护“三同时”制度。
   • 环境保护部门还会对现有饮食业单位进行排污申报登记，全面掌握油烟处理情况，并对逾期不能达标的单位实施处罚。

2. 城市管理部门：

   • 城市管理行政执法部门，如城管局，也负责监管烧烤店等餐饮服务业的油烟排放问题。
   • 他们会对烧烤店进行巡查，确保其油烟净化设施正常使用，并对违反规定的行为进行处罚。
   • 以您提到的达州市城市管理行政执法局的回复为例，他们针对市民投诉的烧烤店油烟扰民问题，进行了现场检查，并向门店经营者宣传了相关法律法规，要求其定期清洗油烟净化设施并确保正常使用。

具体处理流程：

• 当市民发现烧烤店油烟扰民时，可以向当地的环境保护部门或城市管理部门进行投诉。
• 相关部门在收到投诉后，会进行现场检查，核实情况。
• 如果烧烤店确实存在油烟排放不达标或未正常使用油烟净化设施的问题，相关部门会责令其改正，并可能处以罚款。
• 如果烧烤店拒不改正，相关部门有权责令其停业整治。

建议：

• 作为市民，您可以积极向相关部门反映烧烤油烟扰民问题，并提供具体的证据和线索，以便相关部门能够更快地定位问题并采取措施。
• 同时，您也可以关注当地的环境保护和城市管理政策动态，了解相关法规和标准，以便更好地维护自己的合法权益。

综上所述，烧烤油烟的管理是一个涉及多个部门的综合问题，需要环境保护部门和城市管理部门等共同努力，确保烧烤店等餐饮服务业的油烟排放达标，为市民创造一个清新、有序、宜居的生活环境。