结论前置：在您父亲去世后，您母亲作为儿媳，并没有法定的赡养您奶奶的义务。但道德层面的照顾和关怀是值得提倡的，且若您母亲尽了主要赡养义务，她有权作为第一顺序继承人继承您奶奶的遗产。以下是对此问题的详细分析：
一、赡养义务的法律基础与主体
在我国法律体系中，赡养义务主要基于特定的亲属关系产生，具体指子女对父母有赡养扶助的义务。这里的“子女”包括亲生子女、养子女以及有抚养关系的继子女。对于奶奶的赡养责任，依法应由其亲生子女（即您父亲及其兄弟姐妹）来承担。当您父亲去世后，其赡养您奶奶的法定义务随之终止。
二、您母亲与您奶奶的法律关系及义务
您母亲与您奶奶之间属于姻亲关系，并非法律规定的具有直接赡养义务的亲属关系。因此，从法律层面来看，不能强制要求您母亲对您奶奶履行赡养义务。然而，在道德层面，如果家庭情况允许，您母亲对您奶奶给予一定的照顾和关怀是值得提倡的，这有助于维护家庭和谐与亲情关系。
三、特殊情况下的赡养与继承权
自愿赡养与道德肯定：在某些特殊情形下，如您母亲在婚姻关系存续期间与您父亲共同承诺对您奶奶进行赡养，或者您母亲自愿承担对您奶奶的照顾和帮助责任，这些行为虽然不属于法定的强制性义务，但在道德上值得肯定。
继承权的获得：更为重要的是，如果您母亲实际上对您奶奶尽了主要赡养义务，那么在您奶奶去世后，根据《民法典》的相关规定，您母亲作为丧偶儿媳，有权作为第一顺序继承人继承您奶奶的遗产。这一规定体现了法律对道德行为的鼓励和认可。
四、其他法定赡养义务人的责任
在您父亲去世的情况下，如果您奶奶还有其他子女或者孙子女、外孙子女等法定赡养义务人，他们应依法承担赡养责任。这些法定赡养义务人需要确保您奶奶的基本生活需求，如生活照料、医疗救治等得到满足。如果他们无力赡养或已去世，且有负担能力的孙子女、外孙子女将依法承担赡养责任。
五、实际操作建议
家庭协商：在实际操作中，建议家庭成员间根据家庭实际情况和成员间的协商来确定赡养责任的分配。这有助于确保您奶奶能够得到妥善的照顾和关怀，同时也有助于维护家庭和谐。
法律咨询：如果您对具体的法律责任有疑问或需要更专业的法律建议，可以直接向我咨询。我可以根据您的具体情况提供针对性的法律意见和帮助。
道德鼓励：虽然法律没有强制要求您母亲赡养您奶奶，但道德层面的鼓励和支持是非常重要的。您可以鼓励您母亲在条件允许的情况下，对您奶奶给予更多的关爱和照顾，以彰显家庭的温暖和亲情的力量。
综上所述，从法律角度来看，您母亲在您父亲去世后并没有法定的赡养您奶奶的义务。但家庭成员间的相互支持和帮助是维系家庭和谐的重要因素。因此，在实际操作中，建议根据家庭实际情况和成员间的协商来确定赡养责任的分配。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。