结论：仲裁裁决全部支持申请人后，申请人一般不可以不服提起一审，但在特定情形下，如存在法定撤销事由，可向法院申请撤销仲裁裁决，撤销后若双方未达成新仲裁协议，可向法院起诉。以下为详细分析：

一、仲裁裁决的终局性

根据我国《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动仲裁裁决作出后，对于大多数劳动争议案件而言，该裁决具有终局性。这意味着，一旦仲裁裁决作出并送达双方当事人，在符合法定情形且未被依法撤销前，该裁决即产生法律效力，双方当事人应当履行。对于申请人而言，如果仲裁裁决已经全部支持了其仲裁请求，那么从法律效果上看，申请人的诉求已经得到了满足，通常情况下，申请人没有理由再就同一争议向法院提起一审诉讼。

二、特定情形下的救济途径

尽管仲裁裁决具有终局性，但在某些特定情形下，当事人仍然有可能通过法律途径寻求进一步的救济。具体来说，如果申请人认为仲裁裁决存在法定撤销事由，如裁决所根据的证据是伪造的、对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据的、仲裁员在仲裁该案时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为等，那么申请人可以向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。

撤销裁决的流程与后果：

1. 申请撤销：申请人需在收到裁决书之日起一定期限内（通常为六个月内）向法院提出申请，并提交相关证据材料。
2. 法院审查：法院将对申请进行审查，并可能要求双方当事人进行听证或提交补充材料。
3. 裁决撤销或维持：如果法院认为仲裁裁决存在法定撤销事由，将裁定撤销裁决；否则，将裁定驳回申请，维持裁决的效力。
4. 后续诉讼：如果仲裁裁决被撤销，且双方当事人未就同一争议达成新的仲裁协议，那么任何一方当事人都可以向法院提起诉讼，寻求进一步的法律救济。

三、建议与注意事项

1. 审慎评估：在决定是否申请撤销仲裁裁决前，申请人应审慎评估裁决是否存在法定撤销事由，以及申请撤销的成功可能性。
2. 及时行动：如果决定申请撤销，申请人应在法定期限内及时向法院提出申请，以免丧失救济机会。
3. 准备充分：在申请撤销过程中，申请人应准备充分的证据材料，以支持其主张。
4. 咨询专业律师：由于劳动争议案件涉及复杂的法律问题和程序要求，建议申请人在处理此类案件时咨询专业律师的意见和帮助。

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