在一审判决申请再审不被支持的情况下，当事人一般不可以直接申请抗诉，但可以通过特定途径请求检察机关提出抗诉或检察建议。以下是对此问题的详细分析：
一、再审与抗诉的基本概念
再审：再审是法院对已经发生法律效力的判决、裁定，发现确有错误，依法再次进行审理的程序。再审的申请通常由当事人提出，但再审的启动和审理均由法院决定。
抗诉：抗诉是检察机关对法院的判决、裁定认为确有错误时，依法向法院提出重新审理要求的诉讼活动。抗诉是检察机关行使法律监督权的一种方式。
二、一审判决申请再审不被支持后的法律途径
向检察机关申请检察建议或抗诉：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人认为再审判决、裁定有明显错误的，可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉。
- 检察机关在收到当事人的申请后，会进行审查，如果认为再审判决、裁定确有错误，会向法院提出检察建议或者抗诉。
抗诉的适用条件：
- 抗诉并非随意提出，而是需要满足一定的条件。通常，检察机关会审查再审判决、裁定是否存在事实认定错误、法律适用错误或程序违法等情形。
- 如果检察机关认为再审判决、裁定符合抗诉条件，会依法向法院提出抗诉，要求法院重新审理案件。
三、具体操作与注意事项
提交申请材料：
- 当事人向检察机关申请检察建议或抗诉时，需要提交书面申请材料，包括再审申请书、再审判决书或裁定书、相关证据材料等。
- 申请材料应详细阐述再审判决、裁定的错误之处，并提供充分的证据支持。
等待检察机关审查：
- 检察机关在收到申请材料后，会进行审查，并可能要求当事人补充材料或进行询问。
- 审查期限通常较长，当事人需要耐心等待。
遵循法律程序：
- 无论检察机关是否提出检察建议或抗诉，当事人都应遵循法律程序，不得采取非法手段干扰司法活动。
- 如果检察机关提出检察建议或抗诉，法院会依法重新审理案件，当事人应积极参与诉讼活动，维护自己的合法权益。
四、其他建议
- 咨询专业律师：在申请再审或抗诉过程中，当事人可以咨询专业律师，了解相关法律程序和规定，提高申请的成功率。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供专业的法律建议。
- 保持理性与耐心：法律程序往往复杂且耗时较长，当事人需要保持理性与耐心，积极配合司法机关的工作，等待最终的处理结果。
总结来说，一审判决申请再审不被支持后，当事人可以通过向检察机关申请检察建议或抗诉的途径来寻求法律救济。在此过程中，当事人应遵循法律程序，提交充分的申请材料，并耐心等待检察机关的审查结果。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。