结论前置：法院调解书约定的最后一天不履行，并不意味着立即就可以执行，通常需要经过一定的程序和条件满足后，方可申请强制执行。

详细解释与分析：

1. 调解书的法律效力：

   • 法院调解书是人民法院在审理民事案件过程中，根据当事人自愿和合法的原则，在事实清楚、是非分明的基础上，通过调解方式促使双方当事人达成协议，并由法院审查确认后制作的法律文书。
   • 调解书一经送达双方当事人并签收，即具有法律效力，与判决书具有同等的法律效力，即具有强制执行力。

2. 执行的条件与程序：

   • 履行期限的届满：虽然调解书约定了履行期限，但并非期限届满的次日即可直接申请执行。通常，需要给予对方一定的宽限期或者等待对方明确表示不履行后，方可申请执行。不过，若调解书中明确规定了“到期不履行即视为违约，可立即申请执行”等类似条款，则可能无需额外宽限期。
   • 申请执行的程序：在对方不履行调解书确定的义务时，权利人需要向法院提交执行申请书，并附上调解书等证明材料。法院在收到申请后，会进行审查，确认调解书的真实性和对方的未履行情况后，才会启动执行程序。

3. 可能的法律后果：

   • 强制执行措施：一旦法院决定执行，可能会采取多种强制执行措施，如查封、扣押、冻结财产，甚至拍卖、变卖财产以清偿债务。
   • 信用惩戒：对于拒不履行法院生效法律文书的被执行人，法院还可以将其纳入失信被执行人名单，对其进行信用惩戒，限制其高消费、限制出境等。

4. 特殊情况下的处理：

   • 对方部分履行或提出异议：如果对方在履行期限内部分履行了义务，或者对调解书的内容提出异议，权利人需要与对方协商解决或向法院申请处理，而非直接申请执行。
   • 调解书的变更或撤销：在特定情况下，如调解书存在重大误解、显失公平等情形，当事人还可以向法院申请变更或撤销调解书。

建议与行动指南：

• 如果您持有法院调解书，且对方在约定的最后一天未履行义务，建议您先与对方沟通，了解其不履行的原因，并尝试协商解决。
• 如果协商无果，您可以准备相关材料，向法院提交执行申请书，申请强制执行。
• 在整个过程中，如果您遇到任何法律问题或困惑，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。